コンデンサ内の電場の求め方

質問

同心球状のコンデンサをその中心を通る平面で2つに切断したものがある（半球の球殻）そこ（外側電極）に+Qの正電荷を与え、内側電極（外側球殻と同心の球）は接地してある。このときコンデンサ内（誘電率ε）の電場は？（球の中心からの距離rを用いる）

というのが問題です。

考えたのは
１、ガウスの法則を用いると内側が接地してあるので電場０？？
２、内側電極は接地してあっても外の+Qに対応して-Qの電荷を持ちガウスの法則を使って電場を求められる。
３、外側電極に対してガウスの法則を用いる。これだと求められなかった・・・

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

#1のものです。
内殻に誘導される電荷は-Qになります。

その上で問題を解いてください。
ただし、電界の向きが動径方向であるというこの証明をお願いします。
(この証明がなされない限り絶対に正しいとはみなせません)

できれば内殻、外殻表面での電荷密度分布も出してもらえると後の説明がしやすくなります。

回答No.3

rnakamra

#2のものです。

#2に書いてあることはあくまで仮定としてもので、実際にこれが正しいと言うわけではありません。
そこのところご了承ください。

お礼

何度もありがとうございます

わかってると思いますが念のため・・・
もし内殻に-Qが誘導されるなら（クーロン力によって）ガウスの法則を同心円状に閉曲面とってやればrにのみ依存します
んでガウスの法則なんで電荷分布は関係ないですよね

たとえば、接地されてないで電荷与える前に内殻の電荷の初期値が０である状態で、外に電荷与えると分極して、でも電荷保存則があるので閉曲面内の電荷の総和は０
接地されてるので内殻はポテンシャル下げるために-Qをアースから持ってくるのかな
という結論に至りました。

間違ってたり、もっといい解釈あったら訂正しちゃってください

付き合ってもらってありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

>同心球状のコンデンサをその中心を通る平面で2つに切断したものがある（半球の球殻）そこ（外側電極）に+Qの正電荷を与え、内側電極（外側球殻と同心の球）は接地してある。このときコンデンサ内（誘電率ε）の電場は？（球の中心からの距離rを用いる）

これは、問題にこのように書いてありましたか?
直感的に半径rだけの式で表すのは無理がありそう。どうしても方向依存性がないとおかしい。

そうするとガウスの法則で説こうとしても無理がありそう。
(ガウスの法則が成り立たないわけではない。解くのが困難であるというだけ)

この場合、中心を原点として半球の断面に垂直な軸をz軸としてとる極座標(r,θ,φ)として静電ポテンシャルをφ(r,θ,φ)で表す。
実際には対称性からφに依存しないことは明らかであるのでφ(r,θ)としてよい。

このφ(r,θ)が満たすべき方程式(ポアソン方程式)を導きそれを解き、さらに境界条件(球殻表面,半球断面,無限遠点)の条件からこの方程式の解を絞ればよい。
当然のことながら、0≦θ≦π/2とπ/2<θ≦πでは表式を変えないといけませんし、球殻内と球殻外でも分けないといけません。

補足

回答ありがとうございます。

問題には変数としてrのみしか与えられていません。
ちなみに求める電場は球殻内だけでOKです。

僕の直感ではrのみで電場は表されそうな気がします。
理由としてはrは径方向、点電荷が作る電場は距離の２乗に反比例なので、任意の点において足せばなるかなぁと（根拠はないです）

ガウスの法則については、たとえば同じ状況で外側+Q,内側-Qならばガウスの定理を使って簡単にできます。しかし、内側でアースとるだけで使えなくなるのはいささか不自然にも思えます。

思いついたのは
１、内側電極が外側電極の作る電場によって、アースから電子が集まり-Qを帯びると仮定してガウスの法則
２、内側電極が常に電荷０と仮定する。これをQ'帯びてると仮定してガウスの法則。最後にQ'→0をする。（ただこれではE=0）

の方法です。なんかアースとってるのがポイントな気もします。