剛体の力学の問題 正三角形

質問

２題あります。

１．大きさの等しい力F1、F2、F3が同一平面上に配置されている。それらはある正三角形の３つの辺に沿って作用していることがわかっている。このとき、任意の点Oを定め、これら３つの力の点Oまわりの力のモーメントの和を考えると、この和は点Oの位置に関係なく一定であることを証明せよ。

２．正三角形の頂点に脚A、B、Cがついた水平な面を持つ机上のある点に物体を置いたところ、脚A、B、Cが床を押す力がそれぞれ8g[N]、2g[N]、2g[N]増加した。物体の質量とそれが置かれた位置を求めよ。ただしgは重力加速度の大きさである。

まず1番についてですが、
点Oから、F1、F2、F3それぞれの力の作用線までの距離をr1、r2、r3とすれば、モーメントの和Nは
N=Σ(k=1～3)(Fk・rk)
=F1r1+F2r2＋F3r3
このとき、F1=F2=F3=Fとおくと
N＝F(r1+r2+r3)
ここで、ベクトルの総和である(r1+r2+r3)がおそらく0になると思うので、それを示せば一定であるといえると思うのですが、そこで詰まってしまいました。

2番ですが、
机自体の質量をMとおいて、それぞれの脚に力がかかるとすれば、その力はそれぞれ
F=1/3*Mg
となるので、それぞれの脚にかかる力をすべて足してgで割れば、机の質量が求められる。同様にして、
M=(8g+2g+2g)/g=12[kg]
質量はこれで出たと思うのですが、置かれた位置はどのように表現したらよいのでしょうか？

以上２点、よろしくお願いします。

回答No.2

htms42

ｒ１＋ｒ２＋ｒ３＝一定
は単純に幾何的に出てきます。

作図されましたか。
Ｏを通る、辺に平行な線を引くと見えてきます。

お礼

ベクトルを作図して合成するとわかりました。ありがとうございました。

回答No.1

htms42

＞このとき、F1=F2=F3=FとおくとN＝F(r1+r2+r3)

この段階でｒ１、ｒ２、ｒ３はベクトルでなくなっています。
Ｆは力の大きさです。元々方向が異なっていたのをこのような式に書けばベクトルではなくなっているということが分かるはずです。
正三角形を書いて確めると
ｒ１＋ｒ２＋ｒ３＝一定となることが分かります。

お礼

回答ありがとうございます。
ベクトルでなくなったのはわかりました。
では、r1、r2、r3をｘ、ｙの成分であらわして、成分ごとに足し合わせればよいのでしょうか？どのように成分表示すればよいのかお願いします。