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パウリ行列について
grothendieckの回答
- grothendieck
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「スピンとはSO(3)の既約表現のことである」ということは基礎事項なので既知とします。SO(3)とは言うまでもなくx^2+y^2+z^2 を不変にする線形変換(かつ行列式が1)であるものです。ある次元のエルミート行列の空間に属する行列A, B について内積を 〈A,B〉= Tr{AB} で定義します。 x^2+y^2+z^2 を不変にするためには x^2+y^2+z^2 = Tr{g^2} となるような行列gが求められれば、そのユニタリ変換がx^2+y^2+z^2 を不変にすることは明らかです。すると http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/lee01.htm に説明されているようにgとしてパウリ行列の線形結合、ユニタリ変換としてSU(2)が導入されます。しかしなぜx^2+y^2+z^2 自身でなく、「因数分解」して考えるのでしょうか。それはSO(3)より普遍被覆群SU(2)を考える方が簡単だからです。普遍被覆群とは簡単に言えば「因数分解」を与えるような群です。詳しいことは成書をご参照ください。
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