不等式に関する質問です。

質問

「－２≦ａ＜３, １≦ｂ＜４のとき　ａ－ｂはどんな範囲を表すか？」

という問いで

答えが　－６＜ａ－ｂ＜２となっていました。

どのように計算すればこのような答えが得られるのでしょうか？
不等式のイコールを入れる入れないの判断もよく分からないので、そこも含めて回答頂けたら嬉しいです。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

等号の問題を含め、一番分かりやすいのは、座標だろう。

-2≦a＜3と 1≦b＜4 をab平面上に図示する。
aを通常のx軸にとり、bを通常のy軸に取ると、4点Ａ（-2、4）、Ｂ（-2、1）、Ｃ（3、1）、Ｄ（3、4）で作る長方形の周上と内部。但し、辺ＡＤとＣＤの両辺上（端点Ａ、Ｃも）を除く。
a-b＝kとすると、直線：b＝a-kにおけるb切片＝-kの値の範囲を定めると良い。
この直線は傾きが1であるから、傾きを保ちながら、直線を上下に動かすと、上限は点Ａを通る時、下限はＣを通る時、従って、-6＜a-b＜2。
上限・下限であって、最大値と最小値とは違う。

座標を書くと、点ＡとＣが除外されているから、答に等号が入らない事は理解できるだろう。
他にも、解法はあるが。。。。。。

回答No.5

mister_moonlight

座標が分らなければ、aにしても、bにしても、1次関数である事に着目しょう。

a－bはaについて考えると、傾きが正の1次関数で、－2≦ａ＜3であるから、-2-b≦a-b＜3-b　‥‥(1)
そこで、今度は、3-bの上限と、-2-bの下限の範囲を考えよう。
先ず、3-bは傾きが負の1次関数から、1≦ｂ＜4より、3-b≦2.　‥‥(2)
同様にして、-2-bも傾きが負の1次関数から、-2-b＞-2-4＝-6　‥‥(3)
以上から、-6＜-2-b≦a-b＜3-b≦2.　→　-6＜a-b＜2。

お礼

今見ました！！　親切に解説いていただきありがとうございます。
前の解説で完璧に理解できました！　自分もab平面で考えていたのですが、a-b=k とおくという発想がありませんでした。　それを見たら一瞬で答えがでたのでめでたしです。　力不足で申し訳ありませんでした。

回答No.4

owata-www

基本的には＃１、２さんと同じですが、ちょっと違う考え方として

１≦ｂ＜４
→－４＜－ｂ≦－１

ですから
ａ－ｂ＝ａ＋（－ｂ）と考えれば
ａ－ｂが最大…ａと－ｂが最大
ａ－ｂが最小…ａと－ｂが最小

と考えれば分かりやすくなるかと

回答No.2

gokaityou

結論から示せば

－２－４＜ａ－ｂ＜３－１

です。
ａ－ｂの最小値は、一番小さいａの値から一番大きなｂを引いた値となります。このとき　ｂ＜４でなくｂ≦４ならば等号が入ります。
ａ－ｂの最大値は、一番大きなａの値から一番小さなｂを引いた値になります。ａ＜３でなく、ａ≦３なら等号が入ります。

つまり、
　ａの最小値－ｂの最大値＜ａ－ｂ＜ａの最大値－ｂの最小値
です。

回答No.1

riddle09

この手の問題は、極端な場合を考えれば答えが出ます。

ａ－ｂが最大になるのは、最大のａから最小のｂを引いた時。
　ａは最大でも３に満たない。ｂは最小で１。
　∴ａ－ｂ＜３－１

同様に、ａ－ｂが最小になるのは、最小のａから最大のｂを引いた時。
　ａは最小で－２。ｂは最大でも４に満たない。
　∴ａ－ｂ＞－２－４