六つの目の出る確立が等しいサイコロの証明方法について

質問

よく数学等の問題でサイコロの目の出る確立があり、六つの目の出る確立は等しいと仮定されます（この条件を満たすサイコロをここでは”真のサイコロ”と呼ばせていただきます）。しかし、実際問題として、今自分が使おうとしているサイコロがその”真のサイコロ”であるか否かの証明はどうやってしたら良いのでしょうか。例えば、十回二十回と続けて「一の目」が出ても”真のサイコロ”であれば、次に出る「一の目」の確立は「１/６」のままでしょうが、逆にこの時、このサイコロは”真のサイコロ”であると言えるのかということです。実際問題としましたが、簡単の為に、サイコロを振る条件は毎回同一であるとします。

回答No.4

pancho · ベストアンサー

「六つの目の出る確立が等しいサイコロ」を厳密に証明することは不可能です。

まず次の例を考えてください。
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物差しの０～１０ｃｍの間のどこか一点を「鋭い刃物もしくは針」などで選んで-ください。その場所が「１ｃｍ」ちょうどである確率はいくつですか？
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答えは０です。
これはどこが選ばれるか平均している（確率分布が均一である）場合の話ですが、
　・「０～１ｃｍ」の間のどこかである確率は、0.1
　・「１～３ｃｍ」の　　　　〃　　　　　　　0.2
という様に、ある区間に入る確率ならば理論上求めることができます。（これは実際上も一致します。）
同様に、
　・「１．０～１．１ｃｍ」の間のどこかである確率は、0.01
　・「１．００～１．０１ｃｍ」の間のどこかである確率は、0.001
となっていきますが、「１ｃｍ」という唯一点である確率は、上記の極限を考えれば容易に０であることがわかります。

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では話をサイコロに戻して、
　「６回振って、全ての目が１度づつでた」としたら真のサイコロでしょうか？
違いますね。
例えば、１の目だけ他の目よりも２倍出安いサイコロでも「６回振って、全ての目が１度づつでる」ことがありますよね。
だけど、「真のサイコロ」を「６回振って、全ての目が１度づつでる」確率と「１の目だけ他の目よりも２倍出安いサイコロ」を「６回振って、全ての目が１度づつでる」確率は違います。（計算はしませんが．．．）

そのことから、「６回振って、全ての目が１度づつでた」場合、そのサイコロが「真のサイコロ」である確率が求まります。
本当かな？

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うそです。
実は、「真のサイコロ」と「１の目だけ他の目よりも２倍出安いサイコロ」のほかにも「１の目だけ他の目よりも１．５倍出安いサイコロ」もあり、「１の目だけ他の目よりも１．１倍出安いサイコロ」も．．．．という様に無限のバリエーションが存在するからです。
「真のサイコロ」である確率は０です。
では、どうしたらよいでしょう。

そこで、先ほどの物差しの話に逆戻りして、実は「六つの目の出る確立が等しい」と定義したからいけなかったのです。
例えば、「どの目が出る確率も0.16～0.17であるサイコロ」といった誤差を含めた定義をすれば、「６回振って、全ての目が１度づつでる」という試行結果から定義通りのサイコロである確率が決まります。

この試行回数を増やせば確率が高くなり、誤差の範囲を狭めれば確率が低くなります。
＃３の方の説明を詳しくすると、こんな感じになりますが、理解できますか？

以上。

お礼

回答ありがとうございます。証明は、数学的には不可能、工学的には誤差の範囲によるということですね。

回答No.8

dog-marble

たびたびすみません。No.6 の補足です。

すでにNo.4でpanchoさんが私の回答とほぼ同じ趣旨を述べておられましたね。不注意でよく読んでいませんでした。

お礼

回答ありがとうございます（Ｎｏ６，７も含めまして）。棄却率の考えは、昔習ったような気がします（確立・統計は苦手なもので）。

回答No.7

dog-marble

No.6 の補足・訂正です。

「棄却水準」ではなく「有意水準」が正しい用語です。

回答No.6

dog-marble

この問題は、数学的に「証明」することは不可能ですが、統計学的に「検定」することはある程度可能です。

例えば、このサイコロを12万回振ってみて、「１」が20,003回出たとしましょう。

「１」が出る真の確率が1/6-1/100と仮定した場合、12万回振って「１」が20,003回以上出る確率を計算します。この確率が3%以下だったとしましょう。その場合、「真の確率が1/6-1/100」という仮説がおかしかったと結論づけます（仮説が正しかったらほとんどありえないことが起こったので）。このことを「「１」が出る真の確率が1/6-1/100以下である」という仮説は、棄却水準３％で棄却された、と言います。

同様に、「「１」が出る真の確率が1/6+1/100以上である」という仮説が、棄却水準３％で棄却されたとします。

その場合、棄却水準３％で、真の確率は1/6-1/100と1/6+1/100の間の幅の中にあると考えるのが妥当、ということになります。

実験回数を増やすことにより、確率の幅や棄却水準をどんどん小さくすることはできますが、０にすることは不可能です。

ただ、以上の議論は、毎回の試行が独立であるという仮定に基づいています。No.5 のranxさんがおっしゃるような、規則性があるかどうかという検証はしていません。なんらかの特定の規則性、たとえば「「１」の目が出る確率は前回の目に依存する」というような仮説を検証することは統計的に可能ですが、「あらゆる規則性が無い」ということを統計的に検証するのは不可能です。

回答No.5

ranx

「真のサイコロ」というのは理論的に構成された概念ですので、
現実の世界にそのようなサイコロは存在しないし、一つのサイコロを
取ってそれが「真のサイコロ」であることを証明できるようなものでも
ないと思いますが、ただ、あるサイコロがどれだけ「真のサイコロ」に
近いかということは、ある程度計測可能だと思います。

サイコロを６０回振った時に、各目が１０回ずつ連続して出たとしたら、
各目の出た割合は１／６ですけれども、それは真のサイコロとは言えません
よね。目の出方は「ランダム」でなけれななりません。いかなる規則性も
ない出方をして初めて真のサイコロとみなすことができます。一見何の
規則性もないようだけど、よく調べたら１万回に１度必ず１の目が出ていた
などというのもダメです。（コンピュータで使われるランダム関数などは
実はこのケースに近いです。）あらゆるパターンを考えて検証し、
全く規則性を見つけることが出来なければ、そのサイコロはその検証の
範囲内で「真のサイコロ」と言い得ると思います。

お礼

回答ありがとうございます。規則性による検討が必要との事ですが、「ランダム」であることの数学的な定義はあるのでしょうか？

回答No.3

springside

これは言葉の定義の問題だと思います。

「真のサイコロ」を「６つの目が出る確率が等しいもの」と定義されていますが、それだけでは不十分で、さらに踏み込んで、「６つの目が出る確率が等しい」ということをどのように定義されますか？

もし、純粋に理論的に「無限回振った場合に、それぞれの目が出る確率が１／６に収束する」と定義したとすれば、『実際問題』という観点からは、不可能ということになります。
でも、「１２０回振った場合に、それぞれの目が２０回出る」と定義したとすれば、『実際問題』という観点からは振れるでしょうが、そのように各目がきっちり２０回ずつ出るとは思いにくいですね（敢えて感覚的な表現にしました）。
さらに、「１２０回振った場合に、それぞれの目が１５回以上２５回以下出る」と定義すれば、実際に振れるし、きっと多くのサイコロが真のサイコロということになりそうな気がします（敢えて感覚的な表現にしました）。

繰り返しますが、「６つの目が出る確率が等しい」ということをどのように定義するか、ということでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。おっしゃるように定義の問題ですね。私の質問の内容を言い換えると、”一般的（数学的、工学的）には「６つの目が出る確率が等しい」ということをどのように定義していますか？”になるのかもしれません。

回答No.2

digitalian

模範解答は「試行回数が多くなるにつれ、確率1/6に収束すること」だと思いますが、
実際問題として、これは不可能だと思います。

10回で収束するか、1億回で収束するかわかりませんし、第一、どんなに精巧なサイコロだって、
斜めに立ったまま静止する可能性を、完全に否定できません。

だから確率論を考える際、「同様に確からしいとき」という前提条件がつくのだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。確率１/６になったところで、試行を終了し証明が出来たというのは、「初めに”真のサイコロ”在りき」になってしまっていると思うのですが、、、。

回答No.1

ita-roo

「真のサイコロ」の条件を明らかにすることです。
例えば、
・６万回振った時にそれぞれの目が１万回ずつ出たものだけをそう呼ぶ。
とか。

「真のサイコロ」とは任意の概念ですから、他にもどんな条件だってかまいません。
・誤差１ミクロン未満の立方体をそう呼ぶ。
・最初に３が出たサイコロをそう呼ぶ。
・真田さんが振るサイコロをそう呼ぶ。
などです。

・・・と、ここまで書いてきておかしなことに気づきました。

・このサイコロはそれぞれの目が出る確率を完全に６等分にされたものである。
・それぞれの目が出る確率を完全に６等分にされたものを「真のサイコロ」と呼ぶ。

となれば、すでにそのサイコロは「真のサイコロ」であると証明されているわけですね。

確率・統計は文字通り、あいまいな予測論と結果論の学問ですから、「真のサイコロ」が１００回連続で１を出してもかまわないわけです。６つのうちの１つしか結果が出ないと言うサイコロの持つ性質がおかしく感じさせるのですね。
これを深く掘り下げるなら、量子力学だとかイデアとか、そういうややこしい話になると思います。
ご存知かもしれませんが、量子力学には「シュレーディンガーの猫」という、古典物理学的にはいずれか一つの結果しか持たないのに、理論上では複数の結果が同時に表れてもよい、という面白いパラドックスがあります。
検索すればたくさんサイトがでてくると思いますよ。
ご興味があればどうぞ。

お礼

回答ありがとうございます。"任意の概念"では無く、数学的に定義していただきたかったのですが、、、。