不等式で辺々加えるときに不等号が違う場合

質問

「-3<a≦1, 2<b≦5 であるとき, 2a-b のとり得る値の範囲を求めよ.」
という問題を解きたいのですが、

〔解答〕
「-3<a≦1, 2<b≦5 より,
-6<2a≦2, -5≦-b<-2
これらを辺々加えると
-6-5<2a-b<2-2
∴-11<2a-b<0 …〔答〕」

というように
不等号に＝がついているものとそうでないものを
辺々加えることはできますか？

そうでない場合、どのような操作、表現をすれば
この範囲を求められるのでしょうか？

今まで見たものは同じ不等号のものばかりだったのですが、
こういうタイプのものに遭遇してしまいました。
どうすればよいのかわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

できます。

例えば、x≦2 かつ y＜-2 の場合…

x≦2 かつ y＜-2
⇔　(x＜2 または x＝2) かつ y＜-2
⇔　(x＜2 かつ y＜-2) または (x＝2 かつ y＜-2)
⇒　(x+y＜0) または (x+y＜0)
⇔　x+y＜0

結果的に、不等号の「＝」は無くなります。

お礼

できるんですね！
示していただいたお話ですっきりしました。
なんとなくそのようなことを考えようとしたのですが
明確にできなかったです。
ロジカルなご説明をありがとうございます。

回答No.6

mister_moonlight

＞詳しく解説している参考書がありましたらご紹介いただけませんでしょうか？

私は高校時代に、ほとんど参考書というものを使った事がない。但し、黒大数を少し使ったか。
殆ど、“大数党”だったので、下の↓書籍にはあったと思うけど？

http://www.tokyo-s.jp/products/d_zoukan/one_to_one_2003/index.html

お礼

教えてくださった”大数”、さっそく購入しました。
高校時代は参考書ほとんどなしですか？
それでもできるって、尊敬します。
何度もありがとうございます。

回答No.5

mister_moonlight

言葉の訂正をしておく。ｗ

（誤）出来ない事はないが、一番分かりやすいのは、グラフだろう。
（正）出来ない事はないが、一番分かりやすいのは、“座標”だろう。

ついでに、別解を示しておく。

2a-b ＝kとすると、b＝2a-kであるから、2<b≦5 に代入すると、2＋k＜2a≦k＋5.　‥‥(1)　又、-3<a≦1　より　→　-6＜2a≦2。‥‥(2)
(1)と(2)を満たす共通範囲がないのは、k＋5≦-6、2＋k≧2.つまり、k≦-11、k≧0.
従って、(1)と(2)を満たす共通範囲があるのは、-11＜k＜0.　→　-11＜2a-b＜0。

お礼

別解ありがとうございます。
なるほど、そういうふうに考えるのですか。
いろいろなやり方があるのですね。
四苦八苦です（笑）

それから、
前のレスで教えていただいた
長方形で考える方法について
詳しく解説している参考書がありましたら
ご紹介いただけませんでしょうか？
（「赤チャート」には載っていませんでした。）

回答No.3

spring135

>不等号に＝がついているものとそうでないものを
辺々加えることはできますか？

質問者の考え方は正しいと思います。

正攻法は(a,b)平面上に-3<a≦1, 2<b≦5の範囲（長方形）を示し、
z=2a-bなる直線を動かしてみて定数項としてのzの採る範囲を考えるとよいと思います。
点（-3,5）で最小値-11、点（1,2）で最大値0を取ります。ただしこれらの点では＝がa=-3,b=2で外れるので最小値、最大値というのは間違いで、-11<z<0となります。

お礼

どうもありがとうございます。
やはり長方形上で直線を動かすのですね。
ムズムズしますが（笑）
mister moonlightさんのお話と合わせてやってみます。
そういうようなことを説明している参考書などがありましたら
教えていただけるとうれしいです。

回答No.2

mister_moonlight

＞不等号に＝がついているものとそうでないものを辺々加えることはできますか？
＞そうでない場合、どのような操作、表現をすればこの範囲を求められるのでしょうか？

出来ない事はないが、一番分かりやすいのは、グラフだろう。

-3<a≦1と 2<b≦5 をab平面上に図示する。
aを通常のx軸にとり、bを通常のy軸に取ると、4点Ａ（1、5）、Ｂ（-3、5）、Ｃ（-3、2）、Ｄ（1、2）で作る長方形の周上と内部。但し、辺ＢＣとＣＤの両辺上（端点も）を除く。
2a-b＝kとすると、直線：b＝2a-kにおけるb切片kの値の範囲を定めると良い。
この直線は傾きが2であるから、それを上下に動かすと、上限は点Ｂを通る時、下限はＤを通る時、従って、-11＜2a-b＜0。

お礼

グラフで考えるのですか？
おっしゃるように書いてみたのですが、
実は、よくはわかっていません（恥）
もう少し考えてみます！
どうもありがとうございます。

回答No.1

info22

＞不等号に＝がついているものとそうでないものを
＞辺々加えることはできますか？

できますが、等号はなくなります。
[解答]は正解で、間違っていません。

>そうでない場合
該当しませんので考えなくても良い。

>こういうタイプのものに遭遇してしまいました。
>どうすればよいのかわかりません。
[解答]のやり方で正解なので、同じやり方をすれば良いですよ。

>

お礼

これでいいんですね！よかったです。
やり方が他にあるのかもなどと
心配だったので安心しました。
どうもありがとうございます。