合成写像に関する問題

質問

f:Ａ→Ｂ
g:Ｂ→Ｃとするとき
(a)Ａの任意の部分集合Ｐに対して
(g・f)(Ｐ)＝g(f(Ｐ))
(b)Ｃの任意の部分集合Ｒに対し
{(g・f)^(-1)}(Ｐ)＝f^(-1)(g^(-1)(Ｐ))
であることを示せ。(集合位相入門/松坂和夫)

について、(b)は
(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)と(a)を利用すれば
{(g・f)^(-1)}(Ｐ)
＝{f^(-1)・g^(-1)}(Ｐ)
＝f^(-1)(g^(-1)(Ｐ))
とできるので、(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)と(a)を
証明すればＯＫだと思い次のように考えました。

[1]
～(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)の証明～
(g・f)^(-1)とf^(-1)・g^(-1）の始集合と終集合はともに一致。
xをＣの任意の元とする
(g・f)^(-1)(x)
＝{a∈Ａ；(g・f)(a)＝x}
＝{a∈Ａ；g(f(a))＝x}
一方
(f^(-1)・g^(-1))(x)
＝f^(-1)(g^(-1)(x))
＝{a∈Ａ；f(a)∈g^(-1)(x)}
＝{a∈Ａ；g(f(a))＝x}
よって∀x∈Ｃについて(g・f)^(-1)(x)＝(f^(-1)・g^(-1))(x)
よって(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)

[2]
～(a)の証明～
x∈(g・f)(Ｐ)
→∃a∈Ｐ　s.t. (g・f)(a)=x
→f(a)∈f(Ｐ)
→g(f(a))∈g(f(Ｐ))
→(g・f)(a)∈g(f(Ｐ))
→x∈g(f(Ｐ))
よって(g・f)(Ｐ)⊂g(f(Ｐ))

逆に
x∈g(f(Ｐ))
→∃b∈f(Ｐ)　s.t. g(b)＝x
→∃a∈Ａ　s.t. f(a)＝b・・・(※)

[質問１]
[1]の証明は正しいでしょうか？

[質問２]
[2]の証明において
(※)からがわかりません。
私は、(※)の直後に
a∈Ｐでない、つまりa∈Ａ-Ｐと仮定して矛盾を導こうとしました。
なぜなら、
a∈Ｐ→(g・f)(a)∈(g・f)(Ｐ)
→g(f(a))＝g(b)＝x∈(g・f)(Ｐ)とできると思ったからです。

でもうまく矛盾が導けませんでした。
しかし、fが単射という特別な場合ならば

a∈Ａ-Ｐ→f(a)＝ｂ∈f(Ａ-Ｐ)
よりｂ∈f(Ａ-Ｐ)∩f(Ｐ)
今、fは単射より
ｂ∈f(Ａ-Ｐ)∩f(Ｐ)＝f((Ａ-Ｐ)∩Ｐ)＝f(φ)＝φ
これはfが写像であることに矛盾。

とできるなと思ったのですが、一般の写像に関してうまく矛盾が導きだせません・・。

なので、私の方針が根本的に誤りなのだと思ったのですが、
どこに誤りがあるのか自分ではわかりませんでした。

どなたか、[質問１][質問２]についてわかる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.2

KI401 · ベストアンサー

正直全体的に冗長だと思う。……が、まぁ大事だよね、そういうのって。

[1]
"xをＣの任意の元とする"と解答に書いてるけど、
"Ｃの任意の部分集合Ｒに対し"て示すんじゃないの？
まぁ、多分分かってると思うから、大したことじゃないけど。
実際間違ってるって言うほどのことではないわな。
# てか、そのあと問題文に書いてある「P」は「R」の書き間違いかな？

[2]
難しく考えすぎじゃない？単純に

f(P)={f(a)|a∈P}
g(f(P))={g(b)|b∈f(P)}={g(f(a))|a∈P} …☆
(g・f)(P)={(g・f)(a)|a∈P} …★
g(f(a))=(g・f)(a)だから、☆=★
∴g(f(P))=(g・f)(P)

でいいと思うんだが。（最初に冗長だと言ったのはそういう意味で。）

(※)以降続けるなら、
f(a)=b∈f(P)だから、∃a'∈P s.t. f(a)=f(a')
x
=g(b)
=g(f(a))
=g(f(a'))
=(g・f)(a') ∈(g・f)(P)
∴g(f(P))⊂(g・f)(P)

結局話を"元"に落とし込んで、g(f(a))=(g・f)(a)に話を持っていく。
んだったら最初から☆,★のようにすればラクなわけで。

この辺は正直教科書に載ってる「定義」を使って適当に書き下せば、
2~3行どころか1行足らずで証明が終わったりする。
教科書の練習問題は、そういう「定義」を確認してもらうために書いてある場合が多いから、
難しく考えすぎない方がいいと思うよ。

補足

回答ありがとうございます。
＞問題文に書いてある「P」は「R」の書き間違いかな？
そうです。間違えました・・。申し訳ありません。
＞"Ｃの任意の部分集合Ｒに対し"て示すんじゃないの？
これもその通りです。ＣをＲに改めればＯＫですよね！？

ひとつ気になったことがあるので質問させてください。

f(P)={f(a)|a∈P}
g(f(P))={g(b)|b∈f(P)}={g(f(a))|a∈P} …☆
なんですが、この書き方だと
"b=f(d)∈f(P)ならばd∈P"は正しい
と言っているように見えませんか？

実際
Ａ＝{1,2,3,4} Ｐ＝{1,2} Ｂ{p,q,r,s} Ｃ={l,m,n,}
f(1)=p,f(2)=(3)=q,f(4)=r
g(p)=m,g(q)=g(r)=nとしたとき
g(f(P))={g(b)|b∈f(P)}
={g(b)|b∈{p,q}}
={g(f(a))|a∈{1,2}}
={g(f(a))|a∈P}とも書けるし
={g(f(a))|a∈{1,3}}とも書けますよね？

上の具体例のように、
一般に、{g(b)|b∈f(P)}が{g(f(a))|a∈P}と一意的に定まらないのに、
{g(b)|b∈f(P)}＝{g(f(a))|a∈P}と書くのは良くないかな・・？と思い
質問文に書いたように考えたのですが、どうなんでしょうか・・。

回答よろしくお願いしますm(_ _)m

＞(※)以降続けるなら、
＞f(a)=b∈f(P)だから、∃a'∈P s.t. f(a)=f(a')
＞x
＞=g(b)
＞=g(f(a))
＞=g(f(a'))
＞=(g・f)(a') ∈(g・f)(P)
＞∴g(f(P))⊂(g・f)(P)

これだったら納得できました！ありがとうございます。

回答No.5

de_Raemon

＞No.2さんの書かれたような内包的記法を用いた証明でも、そのような心配は不要と言えますよね。
そうですね。
証明もNo.2さんの方法が簡潔でいいんじゃないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。
理解できました。
KI401さんも、ありがとうございました。
私の勘違いでした。大変申し訳ありません。

回答No.4

de_Raemon

＞f(a)=b∈f(Ｐ)だからといって
＞a∈Ｐだとは言えないですよね・・。
確かにそうですが、私はf(a)＝bをみたすaが必ずa∈Ｐだと言っているわけではありません。
p31の(4.5)式にあるとおりf^(-1)(f(P))⊃Pなのでf(a)＝bをみたしてPに属さないaがあっても
別に問題ありません。No.2さんへの補足の中の例でいうとq∈f(P)に対し3∈Aがそうです。

私が主張しているのは『∃』a∈Pであることに注意してください。つまり
”f(a)＝b∈f(Ｐ)ならば『少なくとも一つ』f(a)＝bをみたすa∈Pが存在する”
ということです。No.2さんへの補足の中の例でいうとq∈f(P)に対し2∈Ｐがそうです。
f(3)＝qをみたしPに属さない3∈Aの存在は証明の中で全く出てきません。

この例で具体的に証明すると
g(f(Ｐ))＝{m,n}なので
m∈g(f(Ｐ))→∃p∈f(Ｐ) st g(p)＝m → ∃1∈P st f(1)＝p → ∃1∈P st g(f(1))＝m
→∃1∈P st (g・f)(1)＝m → m∈(g・f)(Ｐ)

n∈g(f(Ｐ))→∃q∈f(Ｐ) st g(q)＝n → ∃2∈P st f(2)＝q → ∃2∈P st g(f(2))＝n
→∃2∈P st (g・f)(2)＝n → n∈(g・f)(Ｐ)

∴g(f(Ｐ))⊂(g・f)(Ｐ)

お礼

回答ありがとうございます。

＞私が主張しているのは『∃』a∈Pであることに注意してください。
改めて証明を読ませていただきました、理解できました。
あの書き方なら証明の中にPに属さないaの存在は問題ではないですね！
ありがとうございます。

では、No.2さんの書かれたような内包的記法を用いた証明でも、そのような心配は不要と言えますよね。

回答No.3

de_Raemon

まず[質問２]からですが(a)の証明の前半は問題ないと思います。
逆のg(f(Ｐ))⊂(g・f)(Ｐ)の証明ですが(※)の所で
＞∃a∈Ａ　s.t. f(a)＝b
となってますが、その前の行でb∈f(Ｐ)と言ってるので正しくは
∃a∈P st f(a)＝b　(※※)
です。(※※)までを要約すると
x∈g(f(Ｐ))→∃a∈P st x＝g(f(a))
ですが、p34の一番下に書いてあるように合成写像があれば定義から必ず(g・f)(a)＝g(f(a))が成り立つので
x∈g(f(Ｐ))→∃a∈P st x＝g(f(a))→∃a∈P st x＝(g・f)(a)→x∈(g・f)(Ｐ)
∴g(f(Ｐ))⊂(g・f)(Ｐ)
が言えます。

次に[質問１]ですが、この問題では写像f,gについての性質が書かれてないのでf,gは
逆写像を持つとは限りません。だから(b)の問題の中の(g・f)^(-1)やf^(-1)やg^(-1)は
逆写像ではなくてp30に書かれている原像の意味にとって証明する必要があると思います。
(逆写像があるときにも逆写像による像と原像は一致するので原像についてだけ証明しておけばOKです)

まず{(g・f)^(-1)}(R)⊂f^(-1)(g^(-1)(R))の証明から。
a∈{(g・f)^(-1)}(R)→∃x∈R st (g・f)(a)＝x→∃x∈R st g(f(a))＝x
→f(a)∈g^(-1)(R)→a∈f^(-1)(g^(-1)(R))
∴{(g・f)^(-1)}(R)⊂f^(-1)(g^(-1)(R))

次にf^(-1)(g^(-1)(R))⊂{(g・f)^(-1)}(R)の証明です。
a∈f^(-1)(g^(-1)(R))→∃b∈g^(-1)(R) st f(a)＝b→∃x∈R st x＝g(b)＝g(f(a))
→∃x∈R st x＝(g・f)(a)→a∈{(g・f)^(-1)}(R)
∴f^(-1)(g^(-1)(R))⊂{(g・f)^(-1)}(R)

お礼

なんかうまく説明できないのですが・・

まずf(a)=bなるa∈Ａがあるとして
このとき
f(a)=f(a')=bなるa'∈Pがあるので・・以下前回答の方針・・・
とするほうがいいのでは？と思いました・・。

補足

回答ありがとうございます。
＞逆写像ではなくてp30に書かれている原像の意味にとって証明する必＞要があると思います。
ご指摘ありがとうございます。まったくその通りですね、うっかりしてました・・。証明も理解できました。ありがとうございます。

ですが
＞∃a∈Ａ　s.t. f(a)＝b
＞となってますが、その前の行でb∈f(Ｐ)と言ってるので正しくは
＞∃a∈P st f(a)＝b　(※※)
ココばっかりは、どうも納得がいきません・・。
前の補足にも書きましたが
f(a)=b∈f(Ｐ)だからといって
a∈Ｐだとは言えないですよね・・。
いきなり(※※)を書くのはマズイのではないでしょうか？

回答よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

naozou

この手の話のときには、前提や定義をきちんと明示することが大事です。
合成写像の定義（(g・f)の定義）、f^(-1)の定義をおねがいします。

補足

ＡＢＣを３つの集合とし、fをＡからＢへの写像、gをＢからＣへの写像とする。Ａの元aを任意に与えれば、まず、aのfによる像としてＢの元f(a)が定まる。次に、f(a)のgによる像としてＣの元g(f(a))が定まる。
このようにして、Ａの各元に対して、それぞれひとつずつＣの元g(f(a))が定まるから、aにg(f(a))を対応させるＡからＣへの写像ψが考えられる。このＡからＣへの写像ψをfとgの合成写像といい、g・fであらわす。

ＡからＢへの写像fが与えられたとする。
ＱをＢの任意の部分集合としたとき、Ａの元で、その像がＱの中にはいるようなもの全体の集合を、fによるＱの逆像といいf^(-1)(Ｑ)で表す
f^(-1)(Ｑ)={a∈Ａ；f(a)∈Ｑ}
特に、bをＢの一つの元とするとき
f^(-1)({b})={a∈Ａ；f(a)=b}はf^(-1)(b)と同じものである。

です。すいません。