締切済み

2000年 大阪市立大学

  • 困ってます
  • 質問No.4803130
  • 閲覧数785
  • ありがとう数2
  • 気になる数0
  • 回答数3
  • コメント数0

お礼率 0% (0/3)

実数の定数a,b(b>0)に対し,2次方程式x^2-2ax-b=0と
3次方程式x^3-(2a^2+b)x-4ab=0を考える。
この2次方程式の解のうちの1つだけが,この3次方程式の解になるための必要十分条件をaとbの関係式で表せ。
また,その共通解をaで表せ。


これはスタンダード受験編の問題なのですが、ヒントもなく、さっぱりわかりません。ずっと悩んでいるので、わかりやすく解答を説明してください。お願いします。
通報する
  • 回答数3
  • 気になる
    質問をブックマークします。
    マイページでまとめて確認できます。

回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 50% (41/82)

他に良解があるかもしれませんが…

説明のために、
A:x^2-2ax-b=0
B:x^3-(2a^2+b)x-4ab=0
とおきます。

まず、これから何をしなければならないのかを整理します。

問題は「Aの解の1つだけがBの解になるための必要十分条件であるaとbの関係式は何か?」ということですね。aとbの関係式を求めよということですので、この関係式を説明のためにCと表すことにします。

【やることその(1)】
まず取り組まなければならないことは、“AとBがただ1つの共通の解を持つ”という条件からCを求めることです。
【やることその(2)】
ただし、(1)だけでは不十分です。“必要十分条件”といっていますので、Cが解った後で、“aとbの間に関係式Cが成り立つとき、AとBはただ1つの共通の解を持つ”ことを確認しなければなりません。


ここまではうまく説明できていますでしょうか…?
※Cを求めると安心してしまって、【やることその(2)】を忘れてしまう方が多いと思いますが、これは大事なことです!

さて、具体的な解答なのですが、全部は説明しませんね。不親切ですみませんが、なるべく自分で考えて力をつけて欲しいので。

【やることその(1)】の解き方

AとBに共通の解があるといっていますので、それをαなどの記号でおいてみます。そうすると、AとBから、文字a,b,αを使った式が2本できますね。
A’:α^2-2aα-b=0
B’:α^3-(2a^2+b)α-4ab=0
さらにα≠0です(◆)ので、A’の両辺にαをかけて(方程式で両辺に0をかけたり、両辺を0でわるのはNGです!)
A”:α^3-2aα^2-bα=0
B’:α^3-(2a^2+b)α-4ab=0
が得られます。この2本の式から
aα^2=a^2α+2ab
が成り立ちます。

さて、ここでa≠0です(◆)ので、両辺をaでわることができます。
α^2=aα+2b

この式と、上記の
A’:α^2-2aα-b=0 つまり α^2=2aα+b
から
aα+2b=2aα+b
が得られます。
これをαについて解くと、
α=b/a
ということがわかります。

これをAに代入します。
すると
(b/a)^2-2b-b=0
b^2-3a^2b=0
でさらに問題文の過程よりb≠0ですので、両辺をbで割って
b=3a^2
という関係式が得られました。これが求める関係式Cです。

【やることその(2)】
これまでで、関係式C:b=3a^2が具体的にわかりました。
あとは、この関係式が成り立つときに、AとBがただ1つの共通解を持つことを示してください。


※すべて解答してあげることは教えてgooのポリシーではないので、少しだけ課題を用意しました。(どうしてもダメなときはまた聞いてくださいね)
・【やることその(2)】は自力でやってみてください。ただ1つの共通解は具体的には3aです。3aになることを自分でも確認してくださいね!
・【やることその(1)】の説明で(◆)がついた2つの条件についても考えてみてください。

※他にも良い考え方があるかもしれませんので、参考程度にお願いします。
  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 56% (57/100)

詳しい解き方は#1の方が答えているので、一般的な考え方だけ。
二つの代数方程式
x^2 + Ax + B =0
x^3 + Cx^2 + Dx +E=0
の共通解を探すためには、この2つの方程式をうまく使ってxの高次の項を順に消去していくとよいです。そのためには、形式的にもう一つ式を追加して、
x^2 + Ax + B =0
x^3 + Ax^2 + Bx =0 (←上の2次式にxをかけただけ)
x^3 + Cx^2 + Dx +E=0
を、x^3, x^2, xを変数とする3元連立方程式のように扱って、x^3, x^2を消去していくと、最後に
□x+△=0
の形の式が残ります。(必要条件)
もちろん、これだけではまだ共通解であるとはいえませんから、このαが実際に共通解になることを確かめねばなりません。この問題では、係数が未定なので、x=αを元の式
x^2 + Ax + B =0
x^3 + Cx^2 + Dx +E=0
に代入すれば、係数A~Eの関係が決まります。(十分条件)
あと、この問題は共通解が1つ、とあるので、そのことも確かめておきます。

上のような共通解の求め方を一般化すると、「終結式」という理論に到達します。入試問題には、大学で教える数学を簡単化したものが出ることがあるようなので、興味があれば終結式を調べてみるとよいと思います。
  • 回答No.3
レベル13

ベストアンサー率 41% (502/1210)

2つの方程式の共通解をαとすると、α^2-2aα-b=0 ‥‥(1)、α^3-(2a^2+b)α-4ab=0 ‥‥(2)。
(1)より、b=α^2-2aαであるから、これを(2)に代入すると、aα*(α-3a)=0となる。
α=0とすると、(1)でb=0となり条件に反する。
後は、a=0の時と、α-3a=0の時を調べると良い。
続きは、自分でやって。但し、計算は自信ないから、チェックしてね。
このQ&Aで解決しましたか?
AIエージェント「あい」

こんにちは。AIエージェントの「あい」です。
あなたの悩みに、OKWAVE 3,500万件のQ&Aを分析して最適な回答をご提案します。

関連するQ&A
このQ&Aにこう思った!同じようなことあった!感想や体験を書こう
このQ&Aにはまだコメントがありません。
あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。

その他の関連するQ&A、テーマをキーワードで探す

キーワードでQ&A、テーマを検索する
-PR-

特集


開業・独立という夢を持つ人へ向けた情報満載!

ピックアップ

ページ先頭へ