• ベストアンサー

2変数の平均値の定理、テイラーの定理

平均値の定理は、1変数の場合だと直感的にも理解できたのですが、2変数となると式をいじると確かに導けるのですが、もうひとつ、地に足が着かない感じです。 その応用のテイラーの定理にしても…。 これらの式は直感的に理解できないのでしょうか。 あるいは、どういうことを主張する式なのでしょうか。 分かる方、教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
noname#5277
noname#5277
回答No.2

2変数関数は、言ってみれば地形のようなものですよね。 f(x、y)は、(x、y)における高さとか。 そういう風に視覚的にイメージすると、直感的に理解できる気がします。 ボクはそうやって理解しましたよ。 ただ、こういうイメージって図がなくて言葉だけだと 先入観を生んでしまいそうなんで、 アドバイスということで。

guowu-x
質問者

お礼

ありがとうございました。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

その他の回答 (1)

  • jmh
  • ベストアンサー率23% (71/304)
回答No.1

不確かつ不明瞭な記憶ですが…、 次のような本を見たことあります。  (VとWは有限?次元実?ノルム(計量?)線型空間) 「f: V → W に対して、f'(a) を線型写像: V → W で、  ||f(a+δ)-f(a)-f'(a)δ|| / ||δ|| < εなモノ」、 「f(a+δ) = f(a) + f'(a)δ + ε」 …などと、a の近くでの f の動きを線型写像 f'(a) で近似するというものです。 この本では導関数は、   f': V → Hom(V,W)、   f'': V → Hom(V,Hom(V,W))、   f''': V → Hom(V,Hom(V,Hom(V,W)))…、  などと?なって、  テイラーは、   f(a+δ) = f(a) + f'(a)δ + f''(a)δδ + f'''(a)δδδ + …  と1変数のときと同じ(見た目の)主張ができてました! とても分かりやすい本だったのですが、タイトルも著者も忘れてしまいました。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • テイラーの定理と平均値の定理

    テイラーの定理は平均値の定理を拡張したものと教科書に書いてありました。また他に拡張したものとして、コーシーの平均値の定理があります。どのように拡張したらその公式ができたのかわかりません。 証明を見ても、確かにその式が成り立つというのは分かりましたが、その公式自体何処から沸いて出たのか分かりません。誰か片方でも分かる人がいたら教えてください。

  • テイラーの定理(多変数)を多重指数で表現する問題

    多重指数、記号の定義です。 http://imgb1.ziyu.net/view/kimuke/1291568264.jpg.html 問です。 http://imgb1.ziyu.net/view/kimuke/1291568312.jpg.html 2枚目の写真の様に、多変数のテイラーの公式を多重指数を用いて表現したいです。 1変数のテイラーの公式、多変数のテイラーの公式については、多重指数を用いない一般的な表現法を証明して理解しました。 1変数・多変数の一般的な式の形から、多重指数を用いた式の形へ変形しようとしても上手くいきません。 解決の糸口と流れを示していただけましたら幸いです。 どうぞよろしくお願いします。

  • テイラーの定理と近似値

    f(x)=√xに対してテイラーの定理を利用したときのf(9.2)(=√9.2)の近似式を教えてください。 また、実際にn=0,1,2,3,4,5,6,7,8のそれぞれの場合についてこの式の値を計算し、√9.2の正確な値と比較してください。 まったく解き方がわからず困ってます。途中の計算式も交え、どうしてそうなるのかわかりやすく教えていただけると助かります。

  • 2変数関数のテイラーの定理の問題について

    どうにか2変数関数のテイラーの定理の問題まで解き進めることができました。 ここまでこれたのも、こちらでご指導くださった皆様のおかげと大変感謝しております。まだまだ勉強不足ですが、引き続きご鞭撻のほど、よろしくお願いしまします。 2変数関数のテイラーの定理の問題を解いてみたのですが、 これであっているのか、ご指導いただければと思います。 特に(5)が自信ないです。 【問題】 次の2変数関数に、n=2の場合の「マクローリンの定理」を適用せよ。 ※2変数関数のマクローリンの定理 f(x,y)=f(0,0) +(1/1!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)} f(0,0) +(1/2!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(2) f(0,0) +… +(1/(n-1)!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n-1) f(0,0) +(1/n!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n) f(θx,θy) (0<θ<1) ※2変数関数のマクローリンの定理(n=2の場合) f(x,y)=f(0,0)+{fx(0,0)+fy(0,0)y} +(1/2){fxx(θx,θy)x^(2)+2fxy(θx,θy)xy+fyy(θx,θy)y^(2)} (1) x+y f(x,y)=x+y f(0,0)=0 fx(x,y)=1 fx(0,0)=1 fy(x,y)=1 fy(0,0)=0 fxx(x,y)=0 fxx(0,0)=0 fxy(x,y)=0 fxy(0,0)=0 fyy(x,y)=0 fyy(0,0)=0 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0x^2+2・0xy+0・y^2)=0 (2) x^2+y^2 f(x,y)=x^2+y^2 f(0,0)=0 fx(x,y)=2x fx(0,0)=0 fy(x,y)=2y fy(0,0)=0 fxx(x,y)=2 fxx(θx,θy)=2 fxy(x,y)=0 fxy(θx,θy)=0 fyy(x,y)=2 fyy(θx,θy)=2 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・0xy+2y^2) =(1/2)(2x^2+2y^2) =x^2+y^2 (3) x^2+2xy+y^2 f(x,y)=x^2+2xy+y^2 f(0,0)=0 fx(x,y)=2x+2y fx(0,0)=0 fy(x,y)=2x+2y fy(0,0)=0 fxx(x,y)=2 fxx(θx,θy)=2 fxy(x,y)=2 fxy(θx,θy)=2 fyy(x,y)=2 fyy(θx,θy)=2 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・2xy+2y^2) =(1/2)(2x^2+4xy+2y^2) =x^2+2xy+y^2 =(x+y)^2 (4) x^3+y^3 f(x,y)=x^3+y^3 f(0,0)=0 fx(x,y)=3x^2 fx(0,0)=0 fy(x,y)=3y^2 fy(0,0)=0 fxx(x,y)=6x fxx(0,0)=0 fxy(x,y)=0 fxy(0,0)=0 fyy(x,y)=6y fyy(0,0)=0 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用する。 ただし、3次式のため、fxx(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y)までの計算とする。 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2)=0 (5) e^(x)・sin(y) f(x,y)=e^(x)・sin(y) f(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0 fx(x,y)=e^(x)・sin(y) fx(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0 fy(x,y)=e^(x)・cos(y) fy(0,0)=e^(0)・cos(0)=1・1=1 fxx(x,y)=e^(x)・sin(y) fxx(θx,θy)=e^(θx)・sin(θy) fxy(x,y)=e^(x)・cos(y) fxy(θx,θy)=e^(θx)・cos(θy) fyy(x,y)=e^(x)・(-sin(y))=-e^(x)・sin(y) fyy(θx,θy)=-e^(θx)・sin(θy) 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+1y) +(1/2)(e^(θx)・sin(θy)・x^2+2・e^(θx)・cos(θy)・xy-e^(θx)・sin(θy)y^2) =y+(1/2)e^(θx)(sin(θy)・x^2+2cos(θy)・xy-sin(θy)y^2) =y+(1/2)θ・e^(θx)(sin(y)x^2+2cos(y)xy-sin(y)y^2) =y+(1/2)θ・e^(θx)((x^2-y^2)sin(y)x^2+2cos(y)xy) 以上、よろしくお願いしたします。

  • 平均値による証明

    f(x)がC2級でf"(a)≠0とすると、平均値の定理 f(a+h)=f(a)+hf′(a+θh) において、lim[h→0]=1/2を示せ。 (hint:f′(x)に平均値の定理を用いて上式に代入したものと、 n=2のときのfについてのテーラーの定理を比較する。) 手も足も出ません。どういう方針でやればいいかもよくわかりません。 協力お願いします。

  • テーラー展開について

    テーラー展開を用いて指数関数を多項式にしたいのですが、 f(x) = EXP(x) = 1 + 1 / 1! * x + 1 / 2! * x^2 + … というのは理解しているのですが f(x,y) = EXP(x + y)といった2変数の場合のテーラー展開やり方がわかりません。 一体どうのようにすればいいのでしょうか?

  • テイラーの定理の範囲の問題

    高3です。 テイラーの定理の範囲の復習をしているのですが、配られたプリントを何枚かなくしてしまい、途中がよくわかりません。空いているページの直後のページの最初には次のように書かれているのですが、これがなぜ成り立つのかを解説していただきたいです。 log(4/3) = log{1+(1/3)} = 1/3 - {(1/3)^2}/2 - {(1/3)^3}/3 - {(1/3)^4}/4 + {(1/3)^5}/5 + E1 = A1 + E1 ここで E1 = -∫[0→1/3][{t^5/(1+t)}dt] |E1| < 1/4 * 10^(-3) である。 調べてみたのですが、教科書には載ってない範囲のようでどうにもいかない状況です。友人に連絡をとろうとしたのですが、どうも年末で忙しいようで連絡がとれません。 上記の式の意味がわかった方いましたら、どのようにして成り立つのかなどを解説していただければうれしいです。 よろしくお願いします。

  • テイラーの定理・マチンの公式についてです

    (1)テイラーの定理の使って|x| ≦ 1/5の範囲で | arctanx-(x-x^3/3+x^5/5) | < 10^-5 となることを証明せよ。 (2)上の不等式と π = 16arctan1/5 - 4arctan1/239 を利用してπを小数点以下第三位まで求めよ。 このとき小数点第3位まで数値が確定する理由も述べよ。 出来るだけ詳しい解答・解説をお願いします(私の理解力が乏しいので…) あともうひとつはマチンの公式 π/4 = 4arctan1/5 - arctan1/239 で α = arctan1/5としたとき -π/2 < 4α-π/4 < π/2となることも教えていただきたいです。 お時間のある方,もしくは数学が得意な方よろしくお願いします。 (問題は大学1回生レベルです。)

  • 高校数学、平均値の定理

    (問題)|sinα-sinβ|≦|αーβ|を示せ。 画像のように、α=βの時、α≠βの時と場合分けしています。 α≠βの部分の証明について区間[α、β][β、α]について平均値の定理を使うと |(sinα-sinβ)/(αーβ)|=|cosc|とあるのですが、平均値の定理のf(p)-f(q)/p-qの部分は傾きを求めている式ですし、分母分子にー1をかけるとf(q)-f(p)/q-pのようになるので、絶対値は不要だと思うのですが、どうして両辺に絶対値を付けるのでしょうか? 解答には[α、β][β、α]の両方の場合を同時に議論するためとありますが上にあげた理由で、(sinα-sinβ)/(αーβ)のままで両方とも扱えるのではないのでしょうか?

  • コーシーの平均値の定理の証明

    証明の流れとしてF(a)=F(b)となるようなF(x)を考えロルの定理を使う。というふうな感じだと思うのですが とりあえず証明を見てみるとk=f(b)-f(a)/g(b)-g(a)としてF(x)=f(x)-f(a)-k{g(x)-g(a)}としてあり、確かにF(a)=0、F(b)=0で一致します。 このF(x)の決め方が分かりません。 例えばラグランジュの平均値の定理ならば元の関数f(x)と、点A(a,f(a))、B(b,f(b)を通る直線の方程式との差を作ればk=f(b)-f(a)/b-aとしてF(x)=f(x)-{k(x-a)+f(a)}で当然x=a,bでの差は0になるからF(a)=F(b)なのは直感的にも分かります。 しかしコーシーの平均値の定理の場合、関数がf(x)とg(x)の2つなのでどう考えればいいのか分かりません。 それとも同じような考え方ではダメなのでしょうか?

このQ&Aのポイント
  • MFC-J887Nには外付け電話機の制限はありますか?
  • MFC-J887Nはひかり回線・IP電話に対応しています。
  • MFC-J887Nでは回線に接続し、電話機子機2機を接続することができます。
回答を見る