高校数学、平均値の定理

質問

（問題）｜sinα-sinβ｜≦｜αーβ｜を示せ。
画像のように、α＝βの時、α≠βの時と場合分けしています。

α≠βの部分の証明について区間[α、β][β、α]について平均値の定理を使うと
｜（sinα-sinβ）/（αーβ）｜＝｜cosc｜とあるのですが、平均値の定理のｆ（ｐ）－ｆ（ｑ）/p-qの部分は傾きを求めている式ですし、分母分子にー１をかけるとｆ（ｑ）－ｆ（ｐ）/q-pのようになるので、絶対値は不要だと思うのですが、どうして両辺に絶対値を付けるのでしょうか?
解答には[α、β][β、α]の両方の場合を同時に議論するためとありますが上にあげた理由で、（sinα-sinβ）/（αーβ）のままで両方とも扱えるのではないのでしょうか?

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>α=0、β=10 のときに右辺（cosc)に絶対値が必要というのがよくわかりません。

(sinα-sinβ)/(α-β)=cos(c) (α≦c≦β)

(sinα-sinβ) = cos(c)(α-β)

で、題意は (sinα-sinβ) の絶対値が (α-β) の絶対値より小さくなることを示せ　でしょ？
それをそのまま数式にすれば

|(sinα-sinβ)| = |cos(c)||(α-β)| ≦ |(α-β)|　(|cos(c)| ≦ 1 だから)

題意を

|(sinα-sinβ)/(α-β)| ≦ 1　を示せ

ととらえるなら(意味は同じですが)

|(sinα-sinβ)/(α-β)| = |cos(c)| ≦ 1

で絶対値をはずすことはできません。はずすなら

-1 ≦cos(c) ≦ 1

とする必要が出てきます。めんどくさいだけです。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

まず右辺の絶対値が必要なことは
α=0、β=10 で明らかですが、左辺に絶対値を
付けた方がない場合より条件がより厳しい
ことは理解されていますでしょうか?

題意はゆるい条件を導くことではなく、
より厳しい条件が満たされることを
示すことです。

お礼

｜sinα-sinβ｜≦｜αーβ｜でα=0、β=10 の時、右辺に絶対値をつけなくては成り立たないのはわかります。

補足

α=0、β=10 のとき、
[０，１０]においてsin10-sin0/10-0=cosc、０＜ｃ＜１０となるｃが存在でも
sin0-sin10/0-10=cosc,０＜ｃ＜１０でも同じではないでしょうか？
α=0、β=10 のときに右辺（cosc)に絶対値が必要というのがよくわかりません。教えてください。