テイラーの定理・マチンの公式についてです

質問

(1)テイラーの定理の使って|x| ≦ 1/5の範囲で

| arctanx-(x-x^3/3+x^5/5) | ＜ 10^-5

となることを証明せよ。

(2)上の不等式と

π = 16arctan1/5 - 4arctan1/239

を利用してπを小数点以下第三位まで求めよ。
このとき小数点第３位まで数値が確定する理由も述べよ。

出来るだけ詳しい解答・解説をお願いします(私の理解力が乏しいので…)

あともうひとつはマチンの公式
π/4 = 4arctan1/5 - arctan1/239 で
α = arctan1/5としたとき
-π/2 < 4α-π/4 < π/2となることも教えていただきたいです。

お時間のある方，もしくは数学が得意な方よろしくお願いします。
(問題は大学１回生レベルです。)

回答No.3

Tacosan

あ～, arctan をまじめに微分していくと面倒でしょうね.
ここは
d(arctan x)/dx = 1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...
とした方が楽. 最後の級数は収束半径 (|x| < 1) において絶対収束し, 従ってその範囲で積分することができます.

回答No.2

Tacosan

(2) は上の式から arctan x を x-x^3/3+x^5/5 で近似し, その時の誤差を見積もることになります. なお, 4 arctan 1/239 は 1/60 くらいの大きさなので小数点以下第3位まで求めるためには必要です (第1項だけでいいとは思うけど誤差の計算は必要).
-π/2 < 4α-π/4 < π/2 については, tan 4α を計算してみれば分かります. まあ, そこまでしなくても tan 2α が求まれば明らかだとは思いますが.

お礼

回答ありがとうございます。
誤差を見積もるのは|x|≦1/5の範囲ですよね？

回答No.1

corpus

(1)は、arctanxをベキ級数展開してみればいいのではないでしょうか。最初の３項は、(x-x^3/3+x^5/5)となると思うので、それ以降のベキ級数が|x|<1/5のときに、10^-5以下になることを示せばいいだけだと思います。

(2)は、推測です。arctan1/5が10^-5の範囲に収まるということは、(1)でわかっていて、それを10<16<10^2で掛けているので、16arctan1/5は、10^-3までは確定するのではないでしょうか。4arctan1/239は無視していいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
(1)を解いてみたところ、5回微分したあたりで分子の係数が物凄く大きくなってしまったんで合ってるか不安です。
が、やり方が分かったのでもう一度計算しなおしたいとおもいます。
ありがとうございました！