広義積分の問題

質問

∫[1/{e^x+e^(-x)}]dx
∫の下限は-∞，上限は∞です。
eは自然対数の底のeです。
誰かこの計算の仕方を教えてください。
答えはπ/2と書いてありました。
出来るだけわかりやすく教えてください。お願いします。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度に

∫[-∞→+∞][1/{e^x+e^(-x)}]dx
置換するんですね。
e^x=t と置きます。
e^x*dx=dt ですから、dx=dt/t, 0≦t≦+∞, {e^-∞=0 故}
e^-x=1/t

∫[0→+∞]{1/{t+(1/t)}*{dt/t}=∫[0→+∞]{t/{1+t＾2}}{dt/t}
=∫[0→+∞]{1/{1+t＾2}}dt=tan-1{t}|[0→+∞]
=tan-1{∞}-tan-1{0}=π/2

ということかな。

お礼

ありがとうございました。
買いあったとおりに置換すると、うまく出来ました。

回答No.2

siegmund

I = ∫[1/{e^x+e^(-x)}]dx
は不定積分が容易に計算できます．
被積分関数の分母分子を e^x で割って
(1)　　I = ∫e^(-x) dx /{1 + e^(-2x)}
ここで，
(2)　　y = e^(-x)
と置くと，
(3)　　dy = -e^(-x) dx
ですから，これがちょうど(1)の分子になっています．
したがって
(4)　　I = - ∫dy / (1+y^2) = - arctan(y) = - arctan{e^(-x)}
不定積分がわかったので，あとは端の値を入れて引き算してください．

お礼

どうもありがとうございます。
e^xでわって置換するという方法もあるのですね。
参考になりました。