微分方程式の固有値問題

質問

僕は物理系の学生なので、なんとなくそれっぽい雰囲気の質問になってます。

ふと気になったのですが、例えば固有値問題

-(ｄ^2/ｄｘ^2)ψ(ｘ) = kψ(ｘ)
ただし、k>0
0＜ｘ＜L
(複素)内積＜ψ(ｘ)，ψ(ｘ)＞ = １

の解は

ψ(ｘ) = (1/L)sin(kx)
k = nπx/L
nは(0を含まない)自然数

となります。

一方、
{-(ｄ^2/ｄｘ^2)+ｘ^2}ψ(ｘ) = εψ(ｘ)
ただし
0＜ｘ＜L
(複素)内積＜ψ(ｘ)，ψ(ｘ)＞ = １

の解は

ψ(ｘ) = cHn(x)exp{-(x^2)/2}
ε = 2n + 1
ただし、cは規格化定数、Hn(x)はエルミート多項式、nはゼロ以上の整数です。

という解になることはわかるのですが、

ψ(ｘ) = (1/L)sin(kx)
k = nπx/L + ｘ^2
nは(0を含まない)自然数

としても、解になるのではないでしょうか。

長くなりましたが、質問としては
『固有値に変数ｘが入ってはいけないのか』ということです。
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.1

eatern27

>ψ(ｘ) = (1/L)sin(kx)
>k = nπx/L + ｘ^2
>nは(0を含まない)自然数
>としても、解になるのではないでしょうか。
なってません。

>『固有値に変数ｘが入ってはいけないのか』ということです。
『固有値』の定義はご存知ですか？

お礼

ありがとうございます。
もう一度固有値とかの定義から勉強し直したいと思います。