Ａなら○、Ｂなら×の見極め方

質問

問
１から６までの互いに異なる数字が１つずつ書かれた６個の球が
入っている箱がある。この箱の中から１個の球を取り出し、書か
れている数字を確認して元に戻すという操作を３回行うとき、取
り出された球に書かれた数字の最大値が４である確率はいくらか。

僕の解き方
３回取り出すうち、最低でも１回は絶対に４でなければならない
わけだから、(1/6)×（4×6）×（4×6）＝16/216

さらに、４が出るのは１回目・２回目・３回目と３つのケースが
考えられるため、（16/216）×3＝48/216→2/9

ところが、この数字は選択肢にはなく、全く違う数字が正解にな
っていました。しかし、なぜこの数字が×で、正解が○なのかが
解説を読んでもわかりませんでした…。

☆僕の解き方は、どこが抜け落ちているのですか？
☆問題文のどこをヒントに「この解き方を使えばいい、僕のやっ
たやり方は×である」、と見極めればよいのですか？

いつも書いていることですが、間違っているとされていること、
正しいとされていることが、なぜそうなのかがさっぱりわからな
いんです。ハッキリと目にみえる証拠がないですし、自分のたて
たやり方でも、ちゃんとつじつまはあっています。

一度勉強したものであれば、Ａが○・Ｂが×と知識として知って
いるから解けますが、はじめての問題をやる度に混乱してしまい
ます。宜しくお願いします。

回答No.24

33550336

No.7です。

＞そのテのアドバイスは今までに幾度となく書き込まれているため、
＞僕もまた、毎回同じことを書き込むことになりますが、「考えた
＞だけで解けるなら今ここで苦労はしません。考えても、解けない
＞から苦労している」のです。

はい、確かに何度も同じことを言われているのをずっとみてきました。
じゃあなぜ何度も皆が同じことを言うのか？
あなたがそれをわかっていないからです。
考えても解けない、と言っていますが、とても考えているようには見えません。
あなたはそれで十分考えているつもりでも、全然足りていないと思います。
今回の場合、起こりうる事象は全部で２１６パターンありますが、全部書き出してみましたか？
書き出したうえで、あなたが考えた数え方を実践してみると、誤りに気づけたはずです。

＞＞今回の場合数え方に重複があるわけですが
＞「重複がある」というのは、どこからでてきたのでしょうか？？
＞何をヒントに、僕の解き方では「重複がある」と発見すればよい
＞のですか？？

私の場合、一言で言うなら「経験」です。
私はこれまでこのような問題を数多くこなしてきました。
私もかつて同じような間違いを何度もしてきました。
しかしその度に、自分で解説を読んで理解し、自分の解答にどこに間違いがあるのか、ときには実際に書きだしたりしながら考えてきました。
全て自分で、です。
自分で自分の解答の誤りを探す過程で、何をしたら駄目で、何をすればいいのかがわかってくるようになりました。

もう散々言われてきているかと思いますが、あえてもう一度言います。
もう少し自分の力で考えてみるべきです。
皆が皆すぐにできるわけがありません。
最初は一問理解するのに数日かかってもかまわない。
だんだんその時間を短縮していけばいいのです。
あなたは数学が理解できていない以前に、問題に対する姿勢に問題があると思います。
これまで幾度となく言われてきてそれを全て無視してきて、未だ全く成長できていないのですから、いい加減見直してみてはいかがでしょうか？

お礼

＞考えても解けない、と言っていますが、とても考えているようには見えません。

皆さんは算数が得意だから、「考えれば解けるはずだ！なぜなら１の次は２に決まっている！３の次が５なんてあるはずがない！」という数字への前提意識があり、反対に、僕は右も左もわからない…。だから、お互いに何度も同じ主張を繰り返す、ということになってしまうのでしょう。

＞私の場合、一言で言うなら「経験」です。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3588975.html

ここでの質問で、僕は「1-3/6×3/6×3/6の解き方もできるはずなのに、正解とは違う数字がでる」という疑問を抱えています。ところが、今回の問題では反対に、「(64/216)－(27/216)」だと正解になってしまいます…。以前もやはり書きましたが、勉強すればするほど、むしろこんがらがっていってしまいます…。やはり行き着くところは、なんでＡなら○なのだろう？Ｂだと×なのだろう？です。

回答No.23

Tacosan

ちなみに #8 を書くときにはこんな風に考えてました:
1. 頭の中で全パターンを考える (今の場合は 6×6×6 の立方体)
2. その中で, 条件にあうものがどこにあるかを考える (最大値が 4 になるようなところはこの辺だ)
3. これは「大きさ 4 の立方体」 (= 最大値がたかだか 4) から「大きさ 3 の立方体」 (= 最大値がたかだか 3) を引いたものに等しい
4. その大きさは全体の (4/6)×(4/6)×(4/6) - (3/6)×(3/6)×(3/6) = 37/216.
もちろんこのくらいの問題ならやったことはある (はずだ) けど, だからといって「公式」なんかを覚えてるわけじゃない. 結局のところ「全部数えてる」んだが, 「数える」ときに工夫してるだけ. ここまで工夫しなくても, 立方体のパターンが頭にあれば 3×3×3 + 3×1×3 + 1 = 37通りだということはわかる.
自分で「不得意だ」と思っているなら, むしろ「公式」などというものに頼るのはやめた方がいい. 「公式」なんてのは, しょせん「低レベルのところからその場で作り上げるのは面倒」とばかりに, 途中の「思考」を全てすっとばすためのものでしかない. 公式に頼って地道に数えたりしようとしないからこそ, 「壁」を感じるんだと思う.
「いちいち苦労する」のが, 「Ａなら○、Ｂなら×」と判断するための近道に (結果的に) なるんじゃないかな.

お礼

んー…つまり今回の問題は、式を使って解くのが×で、
１－１－２、１－１－３、という風に、数えるのが○
だったということでしょうか？？

時間はかかるかもしれませんが、このほうが正確な感
じもしますが…。ありがとうございました。

回答No.22

noname#181872

> 皆さんは、算数が得意で、苦労した経験がないから、きっと僕
> の言いたいことがわからないのだろうと思います。

人それぞれ苦労の質も違えば、苦労を苦労と思わない人もいますが、
なんらかの苦労をしたからここで回答されているみなさんは
頭の中にちゃんと定着しているのだと思います。

> 僕はいつもとても混乱した中質問をしていますが、皆さんが、
> Ａなら○・Ｂなら×と教えてくださるおかげで、一つ一つ不明点は
> 解決していけていると思います。

自分で考えないと解決はしませんよ。

というのも、1年も前にこんな質問を質問者様はされています。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3588975.html

このときからあまり成長していないのでは？と思ってしまうのです。

この質問で僕は以下のように答えました。

> 確率というのは概念を図で表すと分かりやすくなることがあるので、
> 今回のベン図や#1さんが出した樹形図、#4さんの出したしらみつぶしなど
> 分かりやすいイメージをまず作ることが重要だと思います。
> 式にするのはその後です。

では今回の問題で、正しいイメージを作りましたか？

今回の回答では、

> さらに、４が出るのは１回目・２回目・３回目と３つのケースが
> 考えられるため、（16/216）×3＝48/216→2/9

としています。ただ、この計算が許されるのは3つのケースが独立な場合です。
独立とはある2つ以上のケースを考えたとき、同時に2つ（あるいはそれ以上）
のケースを満たすことがないということです。
たとえば、さいころを1回振りました。
ケース1：さいころの目が1
ケース2：さいころの目が2
さてケース1またはケース2が起きる確率は？というと、
ケース1が起きてかつケース2も起きるということはありえないのだから
1/6+1/6=1/3
でいいのです（このようなことも前の質問のときに説明しています）。

では、今回の質問ではどうでしょう。これまでみなさんが答えていますが、
重複する可能性がありますよね。
このようなことから、質問が意図しているイメージを作れていない、
と思うのです。

さらに、

> ３回取り出すうち、”最低でも１回は”絶対に４でなければならない
> わけだから、(1/6)×（4×6）×（4×6）＝16/216

と自分で書いていますよね。”最低でも1回は”ってことは2回4が出る、
あるいは3回とも4が出るってこともあるんでしょ？
つまり人に指摘されなくても自分の回答をもう一度読み直せば
矛盾点に気づけたのでは？と思うのです。

では間違いに気づくにはどうしたらよいか。
僕もみなさんと同意見です。
とりあえず数えろ。

確率の問題の特徴は、具体的な例が多く、実際にしらみつぶしをすることで
ことがすむことがあります。また、ことがすまなかったとしても、
実際に列挙することで法則性を導き出せる可能性もあるのです。
つまりイメージのとっかかり作りです。
またその問題の本質、法則性というのは数字を変えても基本的には
変わりません。なので、#12さんがおっしゃっているように、
サイズを小さくして数えやすくして、法則性を見つけるのも
ひとつの手です。

ちなみにこの法則性、今回は玉を取り出すという行為が3回だったから、
質問者様の計算でそれほど不思議ではない答えになりましたが、
たとえば20回だったらどうなったのでしょうか？
取り出す回数が3回の場合と20回の場合で本質的には変わっていません。
そうすると、

（16/216）×20＝320/216 > 1

となりません？1を超える確率とはなんでしょうか？ってことになります。
このようなことからも重複して計算している可能性があることに
気づいて欲しいなぁと思います。

ちなみに重複して数えてしまって失敗した例は、

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4534712.html

でもそうですね。

そんなわけで長くなりましたが、前も書きましたが、泥臭い努力をしましょう。

お礼

Charlie24さん、こんにちは。Charlie24さんは、当時も僕にアドバイスしてくださっていたのですね。

今回の問題では、(4/6)×(4/6)×(4/6)－(3/6)×(3/6)×(3/6)というやり方が○なわけですが、昔の質問にあるサイコロの問題で「1-3/6×3/6×3/6という解き方をすれば…」という疑問点を僕は抱えていたようです。

なんで今回の問題では○なのに、サイコロの問題は×になってしまうのでしょうか？？やはり行き着くところは、Ａなら○・Ｂなら×と見極めたらよいのだろう、になります…。

回答No.21

yamsaru

>僕はいつもとても混乱した中質問をしていますが、皆さんが、
>Ａなら○・Ｂなら×と教えてくださるおかげで、一つ一つ不明
>点は解決していけていると思います。

確かに私もそう思います。
自分の知識のストックを増やすのはいいことですし、
「あっ、これ知ってる！」というのは強力な武器です。

ただどうもhypnosisさんは、記憶『のみ』に頼る傾向が強いようなので、
それが皆さんに違和感を引き起こすんですよ。
普通の人は、
　(1)記憶に頼った判断（あっ、これ知ってる）と
　(2)その場での実験（よく分からない…仕方ない、地道に数えよう）
を、その場に応じて使い分けます。多分５０％ずつくらいで。
しかしhypnosisさんは「見たことがない問題はできるわけない」と、
最初から(2)の方法を捨ててかかっているのではないですか？
どうもあらゆる問題を(1)だけで解こうとしている気がして、
それに対して皆さんは
「そんなことできるわけないだろう！
　なんで(2)を試そうともしないんだ！
　まさかあらゆる問題を分類し、
　『このときはこうする』とカタログ化するつもりなのか？
　そんな不可能ごとはさっさと諦めろ！人間わざじゃない！」
と言ってるんです。
そんなことに使う労力があったら、なぜその場で数えようとしないのか？
多分みなさんは、それを知りたいと思ってるはずですよ。
これは私も聞きたいのですが、地道に数えることこそが、
一番確実な方法だとお思いになりませんか？？

お礼

＞ただどうもhypnosisさんは、記憶『のみ』に頼る傾向が強いような＞ので、それが皆さんに違和感を引き起こすんですよ。

よくわかりませんが、そうなんですかぁ…。

＞しかしhypnosisさんは「見たことがない問題はできるわけない」
＞と、最初から(2)の方法を捨ててかかっているのではないですか？

一番はじめに、あるテキストを何度もやりこんで…もう十分だろうと思い別のテキストに挑戦したところ、学んだことは何一つとして活かせませんでした。なぜかというと、経験した問題とは全く違う内容だったため、素直に解き方がわからなかった（知らなかった）のです。
色々試してみましたが、結果はいつも通りです。

毎日英語を勉強して、ペラペラになったとしても、じゃあスペイン語が話せるのか？フランス語は話せるのか？といったらそんなことはないはずです。

「なぜその場で数えようとしないのか？」とありますが、色々試してみても解けなかったわけです。やはりここいらへんが、算数が得意な皆さんと、算数が苦手な僕との壁ということではないでしょうか。

回答No.20

koko_u_u

> ＞全部のパターンを紙に書き出せば
> ナハハ…そうですね。ありがとうございます。しかし、それは
> 数えただけであって、問題を解くということや、式の立て方の
> 間違いを気付くための方法としてベストなものではないと思い
> ます。

自分で数え上げれば、よほどのバカでもない限り、

「自分の計算では重複してカウントしている」とか、
「数えるべきケースが漏れていた」

ということに気付くはずです。
それが「目に見える」ということです。

お礼

今まで「公式に頼るのはよくない」というアドバイスもいくつか
ありましたが、もしかして、テキストの解説はわざと算数っぽく
しているだけだったということでしょうか？

もしそうなのだとしたら、それはとても悪影響のある内容だった
いうことになりますよね…。

回答No.19

yamsaru

>これからはこの解き方をつかうようにすれば、まずは一安心ですね！
やはりhypnosisさんは分かっておられません。
問題は解決したようですが、余計なお世話と知りつつ書かせていただきます。

みなさんが仰るように、まずは全てのパターンを列挙してください。
これをすると、例えば今回のように「4-4-4」のパターンを
何度も重ねて数えてしまうことを、避けることができます。
というか、そうしないと避けることができません。

>僕は、できればＡなら○、Ｂなら×、だからＡを使って…ということが
できるようになりたいのですが…。
もしこれが「指折り数えて列挙せずに」という意味でしたら、それは無理です。
この世の誰も、そんな能力は持っておりません。

確率の問題では、誰でも指折り数えたものを想像します。
数え切れなくても、「ある程度数えてめぼしをつけたもの」を想像します。
これが問題を解くときの大前提になります。
この段階をスッとばす人間に、問題を解くことは『絶対に不可能』です。

続いて、「おそらくこうだろう」という式を作ります。
ここで、hypnosisさんがよく訊かれる「何を基準に正しいと判断するのか？」ですが、
それは『さっき自分が指折り数えたものと、つき合わせて判断する』んです。
それ以外に判断基準などありません。絶対に。
だから数えるときに、うっかりミスなど犯すと、全てがパァになります。

多くの方がhypnosisさんに仰るのは、
「どうも君は、『この言葉が使われているから』とか『このタイプの問題は』とか
　文面から判断して式に直結したがるようだが、いい加減にそれをやめたらどうなの？」
ということなんです。なんでそうまでして、自力で数えることを嫌がるのかと。
それに対して
>これからはこの解き方をつかうようにすれば、まずは一安心ですね！
という返事をするから「ああ、こいつは何にもわかっていない」と思われるんです。
じゃあ訊きますけどね、以後hypnosisさんは新たな問題を読んだときに、
「あっ、これはあの問題の同類だ！」と、一体どうやって見分けるつもりなんですか？
次からはといいますが、「今こそがその『次』だ！」ってどうやって分かるんですか？
私なら、毎回自力で数えます。それ以外に方法がないですから。

みなさんの仰りたいことが、これで伝わってるといいのですが…。

お礼

＊やはりhypnosisさんは分かっておられません。
＊hypnosisさんがよく訊かれる
＊多くの方がhypnosisさんに仰るのは、
＊みなさんの仰りたいことが

うぅーん、困りましたねぇ。今までのやり取りの中から、僕は
「自分が感じている壁」を皆さんにうまく説明できていないと
いうのは痛く感じていますし、皆さんからのアドバイスには、
距離感を感じることもありました。

皆さんは、算数が得意で、苦労した経験がないから、きっと僕
の言いたいことがわからないのだろうと思います。それで、算
数が不得意な僕に向けるアドバイスの内容が、算数が得意な自
身の経験のみを拠り所にしたものに自然となってしまう…。こ
こいらへんのギャップが、とても難しいのではないかと思いま
す。

僕はいつもとても混乱した中質問をしていますが、皆さんが、
Ａなら○・Ｂなら×と教えてくださるおかげで、一つ一つ不明
点は解決していけていると思います。

回答No.18

makoto_y

三回共４が出る確立は1/216
この部分が三重にカウント

一回目と二回目が４で三回目が１から３が出る確立は3/216
一回目と三回目が４で二回目が１から３が出る確立も3/216
二回目と三回目が４で一回目が１から３が出る確立も3/216
この部分が二重にカウントされてしまっているのです。

ですから
(16/216)×3＝48/216
から重複分を引いた
48/216－(1/216)×2－(3/216)－(3/216)－(3/216)＝37/216
になるのです。

お礼

むずかしいですねぇ…。重複分を引く計算ができるようになる
ことが、この問題の復習のポイントですね。ありがとうござい
ました。

回答No.17

makoto_y

考え方に関する質問なんですね。

(1/6)×(4/6)×(4/6)＝16/216

これは一回目に４が出て二回目、三回目には１から４のどれかが出る確立を示す式です。

これと二回目に４が出て一回目、三回目に１から４が出る確立を示す式
(4/6)×(1/6)×(4/6)＝16/216

三回目に４が出て一回目、二回目に１から４が出る確立を示す式
(4/6)×(4/6)×(1/6)＝16/216

この３つの式には
一回目、二回目、三回目全て４が出る場合がそれぞれに含まれています。
この３つの式を合計してしまっては、ひとつの可能性を三回カウントしてしまっていることになるのです。

お礼

一回目、二回目、三回目全て４が出る場合がそれぞれに含まれています。この３つの式を合計してしまっては、ひとつの可能性を三回カウントしてしまっていることになるのです。

僕の解き方の問題点については、十分理解できました。反省すべき
点は、自力でこのことに気付けなかったことですね…。
ありがとうございました。

回答No.16

sanori

おっす

＞＞＞
えぇーっと、それって、何かいけないことなんでしょうか？
僕の式では、最後に３をかけることによって、全ての取り出し方を
計算したつもりなのですが、それではまずいのですか？？

抽象的ですみませんが、
３をかけるというのは、
「３をかけられるものとしてふさわしいもの（３をかけられる資格のあるもの）」に３をかける、
ということでなくてはいけません。

ダブった考え方をした　１６／２１６　は、３をかけるのにふさわしくありません。
「最後に３をかけることによって、全ての取り出し方を計算」
というのは、「全ての取り出し方　＋　α」であるわけです。
ダブった部分も３倍されますからね。

ダブらないように、１つ１つ注意しながら全ての場合を計算する方法については、
Ｎｏ．１４様が素晴らしい回答をされています。
それを、Ｃ記号を使って簡便にしているのが、Ｎｏ．５様とＮｏ．１０様の回答です。

では！

お礼

＞ダブった部分も３倍されますからね。

今回の問題点の一つとして、このことに気付けなかったというのは
大きいですね…。とほほ。

ありがとうございました。

回答No.15

a-kasatana

>>なぜその解き方のほうが「いい」と思うのですか？？

1回以上起きる確率は複数の要素が重なります。2回起きる確率、3回起きる確率……という風に。
そうすると答えは出せますが計算が非常に煩雑になります。それに従い計算間違えも起きます。

ある事象が1回起きる確率をＡ1、2回起きる確率をＡ2、3回起きる確率をＡ3、以降n回起きる確率をＡnとし、起こらない確率をＢとすると、Ａ1からＡnの和とＢを加えると全ての事象を重なりなく含みますので、Ａnの和+Ｂ=1(=100%)です。
この場合、Ａ1からＡnの和を求めるためには、1つずつ足していくよりも、1からＢ(ある事象が起こらない確率)を引くのが正確かつ早いということは分かりますよね？そういうことです。

お礼

似たような問題をたくさん解くことで、「この問題はＡで解く」
「この問題はＡでなくて普通の解き方でもＯＫ」という見極めを
つけることができるようになれることを期待します。

今回の問題については、引き算のやり方がベストだと教えてい
ただいたので、大丈夫そうですね。

ありがとうございました！