コホモロジー群の問題がわからなくて困っています。

質問

例：コホモロジー群は、特異コホモロジー群かまたはＣｅｃｈコホモロジー群とする。ｐを奇素数とする。安定コホモロジー群、
Sq^i : H^q(X;Z_2)→H^q+i (X;Z_2)
がある。Sq^iは、次を満たす。
(1) Sq^0=id , Sq^i=0(i<0)
(2) Sq^i x=x^2 (x∈H^i(X;Z_2))
(3) Sq^i x=0 (x∈H^q(X;Z_2),q<i)
　　　　　　　　　　n
(4) Sq^n (x∪y)=Σ Sq^i(x)∪Sq^n-i (y)
　　　　　　　　　　i=0
上の(1)～(4)を用いて、次の問を示せ。

(1)x∈H^1(X;Z_2)ならばSq^i x^n =nＣi x^n+i
(2)x∈H^2(X;Z_2)かつSq^1 x=0　ならば
　　Sq^2i x^n =nＣi x^n+1,Sq^2i+1 x^n=0

書き方に慣れていなくて見にくいと思いますがご指摘があれば補足致します。完答でなく、だいたいこうなるみたいなアドバイスでも良いのでどうか回答よろしくお願いします。

回答No.1

wloop · ベストアンサー

帰納法でどうでしょう。

（１）n=1で成立。n=kで成立したとして
Sq^i(x^(k+1))
=Sq^0(x)∪Sq^i(x^k)+Sq^1(x)∪Sq^(i-1)(x^k)
=(kCi+kC(i-1))・x^(k+1+i)=(k+1)Ci・x^(k+1+i)
（２）も同様。n=1で成立
Sq^i(x^(k+1))
=Sq^0(x)∪Sq^i(x^k)+Sq^1(x)∪Sq^(i-1)(x^k)+Sq^2(x)∪Sq^(i-2)(x^k)
を使う。

回答No.3

wloop

>ｐを奇素数とする。安定コホモロジー群、
>Sq^i : H^q(X;Z_2)→H^q+i (X;Z_2)

ここらへんもよくわかりません。
１行目はいみがわかりません。
２行目は
Sq^i : H^n(X;Z_2)→H^n+i (X;Z_2)
ですよね？Sq^i はコホモロジー作用素ですよね？

お礼

大変遅れてしまって申し訳ありません。家庭でトラブルがあったり、パソコンが壊れてしまったりして返信できませんでした。私も問題の意味がさっぱりわからず、返信もできない状況だったので勝手に諦めてしまいました。最近パソコンが直ったのですぐに返信させていただきました。本当に迷惑をおかけして申し訳ありませんでした。心からお詫び申し上げます。

回答No.2

wloop

>上の(1)～(4)を用いて、次の問を示せ。
>(1)x∈H^1(X;Z_2)ならばSq^i x^n =nＣi x^n+i
>(2)x∈H^2(X;Z_2)かつSq^1 x=0　ならば
>　　Sq^2i x^n =nＣi x^n+1,Sq^2i+1 x^n=0

とありますが、(2)の示すべき式は
Sq^2i x^n =nＣi x^n+1ではなく、
Sq^2i x^n =nＣi x^n+i
ですよね？