級数

質問

(1) 1/2log((1+x)/(1-x))のべき級数展開を求めよ

という問題で、1/2log((1+x)/(1-x))は1/2(log((1+x)-log(1-x))

まではわかります。

その先を教えてください。

回答No.2

arrysthmia

(1/2) log( (1+x)/(1-x) ) でしょう？
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4650330.html の続きですね。
なるほど。Σ (a_n + b_n) x^n は、ここで使うのでしたか。

(1/2) は、最後にまとめて掛けることにして、
log( (1+x)/(1-x) ) = log(1+x) - log(1-x) を展開しましょう。

前回回答と同様にして、
log(1 - x) = Σ[n=1→∞] (-1/n) x^n,
log(1 + x) = Σ[n=1→∞] (-1)^n (-1/n) x^n.
どちらも収束半径 1 ですから、-1 < x < 1 において、
log(1 + x) - log(1 - x) = Σ[n=1→∞] {(-1)^n (-1/n) - (-1/n) } x^n
= Σ[n=1→∞] { n が奇数のとき 0、n が偶数のとき 2 } (1/n) x^n
= Σ[k=1→∞] 2 { 1/(2k) } x^(2k).

よって、
(1/2) log( (1+x)/(1-x) ) = Σ[k=1→∞] { 1/(2k) } x^(2k).

回答No.1

Tacosan

分母はどこまで?