マクローリン展開について

質問

e^axi=cosax+isinax
となることを証明したいのですがどうすればいいのでしょうか？
両辺をマクローリン展開するらしいのですがわかりません。
教えて下さい。困っています。

回答No.2

Aquoibonist · ベストアンサー

マクローリン展開すると
e＾x＝Σ(ｘ＾ｎ)/ｎ！　(範囲はｎ＝0～∞)
sinx＝Σ(-1)＾ｎ*〔{ｘ＾(２ｎ+1)}/(２ｎ+1)！〕　(範囲はｎ＝0～∞)
cosx＝Σ(-1)＾ｎ*〔{ｘ＾(２ｎ)}/(２ｎ)！〕　　(範囲はｎ＝0～∞)

e＾x＝Σ(ｘ＾ｎ)/ｎ！にｘ＝iaxを代入すると
e＾iax＝Σ{(iaｘ)＾ｎ/ｎ！}
iを含む項と含まない項を整理すると
　　　＝Σ(-1)＾ｎ*{(aｘ)＾(２ｎ)/(２ｎ)！}+i*Σ(-1)＾ｎ*{(aｘ)＾(２ｎ+1)/(２ｎ+1)！}
よく見ると、これはsin,cosの展開した形なので
＝cos(ax)+i*sin(ax)
がいえる。大雑把に言うとこんな感じでしょうか?

お礼

ありがとうございました。
大変助かりました。

回答No.1

noname#181872

だから両辺をマクローリン展開してみてください。そのものです。

お礼

ありがとうございました。