行列の核と像

質問

大学1年生です。文系です。

線形写像f：V→Wについて，Ker (f) ＝｛a∈V｜f (a) ＝ 0 ｝， Im (f) ＝｛f (a) ｜a∈V｝はそれぞれV， Wの線形部分空間になる。 Ker (f) をfの
核，Im (f) をfの像と呼び， Im (f) の次元をfの階数という。

てな定義を読んでも意味がよく分かりません。

Ker (f) ＝｛a∈V｜f (a) ＝ 0 ｝， Im (f) ＝｛f (a) ｜a∈V｝

という式を日本語に翻訳して下さると助かります。

回答No.2

Hyper30 · ベストアンサー

Ker (f) ＝｛a∈V｜f (a) ＝ 0 ｝

Ker f とは右辺の集合のことである，といってるわけですが，
右辺の集合は，

「V の元 a であって，f で写った先が 0 になってしまうものの全体」

という意味です．
Ker f が大きいということは，
たとえば Ker f = V なら f によって全部が 0 になってしまうように，
それだけ激しく縮小する写像です．
Ker f が小さければ，たとえば　Ker f = {0} ならだいたい形を保ったままの写像だと言えます．

Im (f) ＝｛f (a) ｜a∈V｝

とは，

「f(a)の全体，ただし a は　V の元」

ですから，V という空間が W の中でどのように写っているか，正に「像」をあらわしています．
スライドに例えると，
フィルムが V で，
スクリーンが W
後ろから光を当てて，映像を投影する仕掛けが f
ということでしょうか．

線形写像である，という条件から Ker や Im を
見るだけでだいたい f のことが分かるのでこれらは
大事な定義なわけです．

お礼

初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。
回答ありがとうございました。

回答No.7

jmh

申し訳ないです。よく読むと、No.3 の springside 様は、
　Im(f) = { (x, y) | y = x + 1 }
と仰ってるようにも読めますね。だとしたら、
No.5 の「No.3 の springside 様は正しい」は撤回させてください。
No.5 で jmh が言いたかったのは「｛｝がないです」という事だったのです。

回答No.6

Largo_sp

jmhさんすみません。
私の計算ミスです...

ただ、springsideさんの、「直線だ」というところが違っているのではと
確かにy=x+1の式はあってますが、写像fは実数集合であって、直線でない
ということが言いたかったんで...

回答No.5

jmh

No.4 の Largo_sp 様の
> Im(f)はただ単にx+1です。
> Ker(A)=(0,0)
> Ker(a)=(x,0) xは実数　Im(A)=(0,y)　yは実数
は、
　Im(f) = { x + 1 } （つまり、No.3 の springside 様は正しい）、
　Ker(A) = { (0, 0) }、
　Ker(A) = { (x, -x) | x は実数 }、Im(A) = { (0, y) | yは実数 }
なのでは？

お礼

初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。
回答ありがとうございました。

回答No.4

Largo_sp

説明は#2の方の説明が詳しく、判りやすいので、そちらをみてください。
#3の方の最後が微妙に違うので、補足です。
Im(f)はただ単にx+1です。実数から実数への写像ですから...

実際は行列を考えるとわかると思うのですが...(線形写像は行列で考えますが...)
たとえば、2次の回転行列Ａを考えると、Ｖは平面全体
Ker(A)=(0,0) Im(A)=Ｖとなります
あと、Ker(f)が大きくなる例ですが、
A= 0 0
　　1 1 とすると...平面全体をＶとした場合
Ker(a)=(x,0) xは実数　Im(A)=(0,y)　yは実数
となります。

お礼

初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。
回答ありがとうございました。

回答No.3

springside

Ker (f) ＝｛a∈V｜f (a) ＝ 0 }ですが、これは、「線形写像fを施したときに、写った先が0である（0になる）ような、写る前の集合（Vのこと）の部分集合」ということでしょう。

Im (f) ＝｛f (a) ｜a∈V｝は、「線形写像fによって写った先（写った後）のもの」ということでしょう。

例として、「V＝実数（xとします）、W＝実数（yとします）、f=x+1」とすると、Ker(f)は、「x+1が0になるようなx」ですから、「-1」であり、Im(f)は、直線（xy平面上のy=x+1）ということでしょう。

違っていたらどなたか補足してください。

お礼

初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。
回答ありがとうございました。

回答No.1

Mell-Lily

核
　Ker(f)={a∈V|f(a)=0}
は、数学の言葉で言いますと、”零点集合”です。一方、像
　Im(f)={f(a)|a∈V}
は、馴染みのある言葉で言いいますと、”グラフ”です。

お礼

初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。
回答ありがとうございました。