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行列の核と像

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お礼率 71% (5/7)

大学1年生です。文系です。

線形写像f:V→Wについて,Ker (f) ={a∈V|f (a) = 0 }, Im (f) ={f (a) |a∈V}はそれぞれV, Wの線形部分空間になる。 Ker (f) をfの
核,Im (f) をfの像と呼び, Im (f) の次元をfの階数という。

てな定義を読んでも意味がよく分かりません。

Ker (f) ={a∈V|f (a) = 0 }, Im (f) ={f (a) |a∈V}

という式を日本語に翻訳して下さると助かります。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル7

ベストアンサー率 45% (9/20)

Ker (f) ={a∈V|f (a) = 0 }

Ker f とは右辺の集合のことである,といってるわけですが,
右辺の集合は,

「V の元 a であって,f で写った先が 0 になってしまうものの全体」

という意味です.
Ker f が大きいということは,
たとえば Ker f = V なら f によって全部が 0 になってしまうように,
それだけ激しく縮小する写像です.
Ker f が小さければ,たとえば Ker f = {0} ならだいたい形を保ったままの写像だと言えます.

Im (f) ={f (a) |a∈V}

とは,

「f(a)の全体,ただし a は V の元」

ですから,V という空間が W の中でどのように写っているか,正に「像」をあらわしています.
スライドに例えると,
フィルムが V で,
スクリーンが W
後ろから光を当てて,映像を投影する仕掛けが f
ということでしょうか.

線形写像である,という条件から Ker や Im を
見るだけでだいたい f のことが分かるのでこれらは
大事な定義なわけです.
お礼コメント
withheld

お礼率 71% (5/7)

初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2003-02-19 20:14:55

その他の回答 (全6件)

  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 41% (177/422)

Ker (f) ={a∈V|f (a) = 0 }ですが、これは、「線形写像fを施したときに、写った先が0である(0になる)ような、写る前の集合(Vのこと)の部分集合」ということでしょう。

Im (f) ={f (a) |a∈V}は、「線形写像fによって写った先(写った後)のもの」ということでしょう。

例として、「V=実数(xとします)、W=実数(yとします)、f=x+1」とすると、Ker(f)は、「x+1が0になるようなx」ですから、「-1」であり、Im(f)は、直線(xy平面上のy=x+1)ということでしょう。

違っていたらどなたか補足してください。
お礼コメント
withheld

お礼率 71% (5/7)

初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2003-02-19 20:15:24
  • 回答No.7
レベル11

ベストアンサー率 23% (71/304)

申し訳ないです。よく読むと、No.3 の springside 様は、
 Im(f) = { (x, y) | y = x + 1 }
と仰ってるようにも読めますね。だとしたら、
No.5 の「No.3 の springside 様は正しい」は撤回させてください。
No.5 で jmh が言いたかったのは「{}がないです」という事だったのです。
  • 回答No.5
レベル11

ベストアンサー率 23% (71/304)

No.4 の Largo_sp 様の
> Im(f)はただ単にx+1です。
> Ker(A)=(0,0)
> Ker(a)=(x,0) xは実数 Im(A)=(0,y) yは実数
は、
 Im(f) = { x + 1 } (つまり、No.3 の springside 様は正しい)、
 Ker(A) = { (0, 0) }、
 Ker(A) = { (x, -x) | x は実数 }、Im(A) = { (0, y) | yは実数 }
なのでは?
お礼コメント
withheld

お礼率 71% (5/7)

初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2003-02-19 20:16:15
  • 回答No.4
レベル11

ベストアンサー率 19% (105/538)

説明は#2の方の説明が詳しく、判りやすいので、そちらをみてください。
#3の方の最後が微妙に違うので、補足です。
Im(f)はただ単にx+1です。実数から実数への写像ですから...

実際は行列を考えるとわかると思うのですが...(線形写像は行列で考えますが...)
たとえば、2次の回転行列Aを考えると、Vは平面全体
Ker(A)=(0,0) Im(A)=Vとなります
あと、Ker(f)が大きくなる例ですが、
A= 0 0
  1 1 とすると...平面全体をVとした場合
Ker(a)=(x,0) xは実数 Im(A)=(0,y) yは実数
となります。
お礼コメント
withheld

お礼率 71% (5/7)

初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2003-02-19 20:15:51
  • 回答No.6
レベル11

ベストアンサー率 19% (105/538)

jmhさんすみません。
私の計算ミスです...

ただ、springsideさんの、「直線だ」というところが違っているのではと
確かにy=x+1の式はあってますが、写像fは実数集合であって、直線でない
ということが言いたかったんで...
  • 回答No.1
レベル12

ベストアンサー率 27% (258/936)


 Ker(f)={a∈V|f(a)=0}
は、数学の言葉で言いますと、”零点集合”です。一方、像
 Im(f)={f(a)|a∈V}
は、馴染みのある言葉で言いいますと、”グラフ”です。
お礼コメント
withheld

お礼率 71% (5/7)

初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2003-02-19 20:14:18
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