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線形写像のImfについて。
次の行列A,Bの線形写像fA,Bで与えられる像Im fa,fbと核Ker fa fbを求めよ (1) A= -1 3 -4 (2) B= 1 1 2 -3 3 1 7 1 -2 0 -3 3 5 5 2 -5 -2 -6 という問題なのですが、Ker fa ,fbはどちらも求めることができました。 しかし、Im f を求める前にIm fの定義が教科書をみてもよくわかりません。。 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=598931 ↑の過去ログを見て、定義はおいといて変換してみたところ A= -1 0 0 B= 1 0 0 0 13/14 0 0 0 -2/3 0 0 0 14 0 0 0 -6 0 となり、rankA=2 rankB=3 となりました。 Im f はこの場合次元がそれぞれ2,3なので (1)は行列Aの1列と2列、(2)は行列Bの1列と2列と3列 とおもい、答えを見てみると(1)はあっていたのですが (2)だけR^3 となっていました。 まとめると、自分が聞きたいことは ・Im f を馬鹿な私に分かりやすく教えていただきたい。 ・何故、(2)の答えがR^3なのか。 ・やり方が間違っているところがあるか。 この三点です。 行列がみずらくてすみません。。。; 解説おまちしております。。。
- kakuside
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- kabaokaba
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もっと素直に「Im(f)」の定義に戻りましょう. (1)の場合, f: R^3 -> R^3 で f(x)=Ax ってところですか この場合,Im(f)={ y ∈ R^3 | y=Ax,x ∈ R^3 } です. 要は定義域全体がAでどういう集合に移るかです. x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)とおくと y1 = - x1 + 3 x2 - 4 x3 ---(1) y2 = 3 x1 + x2 + 7 x3 ---(2) y3 = 3 x1 + 5 x2 + 5 x3 ---(3) とひとまず書き下せます. ベクトルらしく書き方を変えます. 本来は縦ベクトルで書くべきですが書きにくいので横にします. (y1 y2 y3) = x1 (-1 3 3) + x2 (3 1 5) + x3 (-4 7 5) です(行列から一気にこの表記にもってくることは容易ですが, あえて泥臭くばらしています). さて,こう書いたときに, a1=(-1 3 3) a2=(3 1 5) a3=(-4 7 5)とおいて, これはもとの行列の列ベクトルですが, a2 + 3 a1 = (0 10 14) -2 a3 + 8 a1 = (8 -14 -10) + (-8 24 24) = (0 10 14) なので(列について基本変形してるだけです. 実際基本変形してみてください), a2 + 3 a1 = 2 a3 + 8 a1 a2 = 5 a1 + 2 a3 です Im(f) は x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 (x1,x2,x3は任意)なので x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = x1 a1 + x2 (5 a1 + 2 a3) + x3 a3 = (x1 + 5 x2) a1 + (x3 + 2 x2) a3 と表わすことができます. したがって, Im(f) は基底が {a1 a3} の二次元ベクトル空間 と表現できます. ここで要注意なのは,ベクトル空間の基底の取り方は 一意ではないということです. したがって,別の基底を用いて解を書くことはもちろん可能です. 例えば(1)のIm(f)は実は基底としては {a1 a2}でもいいでし,{a2 a3}でもOKです. もっと他のものを持ってくることも可能です. >Im f はこの場合次元がそれぞれ2,3なので >(1)は行列Aの1列と2列 一般にはランクが2だからといって,行列の1列目,2列目が Im(f)の基底になるなんてことはありません.自明な反例がすぐ つくれます.こんなのです 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ですので,面倒でも最初は練習だと思って ここで書いたような「面倒な計算」を地道にこなした方がいいです. そのうち「基本変形との関係」や 中学校以来のやってる「連立方程式の加減法」, 「ランクとイメージとカーネルの次元の関係」が すとんと納得できるようになります. 別の考え方としては 行に関する基本変形をしてみてください. そうすると今度は y1 y2 y3 の関係式がでてきます. そうするとIm(f)は 6 y1 + 7 y2 - 5 y3 = 0 となります. つまり Im(f)={(y1 y2 y3) | 6 y1 + 7 y2 - 5 y3 = 0 } です. いろいろな表記がありますが,Im(f)そのものは一つです. (2)に関しては f: R^4 -> R^3 で f(x)=Bx ですね こっちは実は簡単で先にランクを求めて正解 ランクが3なんですから Im(f)は3次元です. ところが,fの行き先そのものが3次元のR^3ですので Im(f)は「R^3の三次元部分空間」つまりR^3そのものというわけです.
- rabbit_cat
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rankが3ということは、行列Bの1列と2列と3列は線形独立ということです。 Im(B)は、行列Bの1列と2列と3列が張る線形空間なわけですが(質問を見る限りはここまではOKなんだと思います)、 独立な3本の3次元ベクトルが張る空間は、3次元空間R^3全体になります。
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補足
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