最適化問題について

質問

n×nの正定値対称行列であるAと、n×1の任意のベクトルxに対して
関数f(x)=t(x)Ax/t(x)x　　　t()は転置
の最適化問題が、||x||=1の条件下で、t(x)Axの最適化問題に帰着されることを説明した上で
f(x)の極値を取るベクトルxがAの固有値ベクトルであることを示し、かつf(x)の最大値、最小値を求めよ。

という問題なのですが、最大値、最少値を示す問題は観て未定乗数法で制約条件を||x||=1にして求めるのかなぁ、と何となくわかるのですが、
どうして||x||=1の条件下で、t(x)Axの最適化問題に帰着されるのか、というくだりと極値云々というのがどうしてもわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

c = 1 / ||x|| を代入してみましょう。
f(x) = f(y), y = x / ||x|| となります。

任意の x に対して ||y|| = 1 ですから、
f(x) の最大値・最小値は、
f(y) ただし ||y|| = 1 の最大値・最小値に
一致します。

お礼

なるほど、合点がいきました！
ありがとうございました。

回答No.1

arrysthmia

0 でないスカラー c に対して、f(cx) = f(x) が常に成り立つからです。
f(cx) を、計算してごらんなさい。
分子分母とも、c^2 倍になっています。

補足

えぇっと…f(cx) = f(x) は当然わかるのですが、そのことが||x||=1の条件下で、t(x)Axの最適化問題に帰着されるという部分に
何故繋がるのかがイマイチわかりません。
関数f(x)もf(cx)だろうと結果は変わらないため、||x||=1にして計算を楽にしてる、とかですかね？