不定積分

質問

∫1/{(1+x^2)√(1-x^2)}dx
この不定積分の計算の仕方がさっぱりわかりません。
ヒントがほしいです。お願いします！

回答No.1

pascal3141 · ベストアンサー

ややこしいですね。普通はx=sinθとおくのだけれど、あとが複雑になるので、x=sinhθとおきましょう。(sinhθ=(e^θ-e^(-θ))/2で定義されるサインハイパブリック関数）
dx=coshθ・dθ，√(1-x^2)=coshθとなり
与式=∫dθ/(1+(sinhθ)^2)
ここで(sinhθ)^2=((e^θ-e^(-θ))/2)^2==(e^2θ+e^(-2θ)-2)/4=(cosh2θ-1)/2より
与式=∫2dθ/(1+cosh2θ)=∫dt/(1+cosht) (t=2θ)
e^t=zと置くと、cosht=(z+1/z)/2，dt=dz/zなので
与式=∫2dz/(z^2+z+1)まで変形できます。ここからは簡単。
計算ミスしてるかもしれないのでチェックしてね。

お礼

回答ありがとうございました。
この方法だと、今の私のレベルでは少し難しかったです・・なので、もう少しきちんと理解してから使っていきたいと思います。
勉強になります。ありがとうございました。

回答No.2

KappNets

詳しい説明を省きますが、
x=t/(2+t^2)^(1/2)
と置換してみて下さい。

お礼

回答ありがとうございました。