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曲線の長さ
x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3) (a>0) としたときの曲線の長さはどう出せばよいのでしょうか^^; 媒介変数をtとして、 x=f(t) y=g(t) と表せたときの曲線の公式 α L=∫ ( ( f'(t) )^2 +( g'(t) )^2 )^(1/2) dt β を使うんですよね?でもコレを使うようにうまく置き換える方法ってのがみつからなくて。 x = t として、無理やり計算しようとしたんですが、計算がやばくなったので途中で断念しました。これで根性でとくしかないのですかねぇ^^; やりかたのヒントだけでもいいので教えてくれるとうれしいです^^
- rousei
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***************************************************************************************** <例題>次の式で示される アステロイド の θ=0 から θ=π/2 までの曲線の長さを求めよ。 x=acos3θ, y=asin3θ ***************************************************************************************** <解答>条件から,x=acos3θ, y=asin3θ dx/dθ=3acos2θ(-sinθ),dy/dθ=3asin2θ(cosθ) 前例題より,dL/dθ={(dx/dθ)2+(dy/dθ)2}1/2 上の式より, (dL/dθ)2=(dx/dθ)2+(dy/dθ)2 ={3acos2θ(-sinθ)}2+{3asin2θ(cosθ)} =9a2cos4θsin2θ+9asin4θcos2θ =9a2cos2θsin2θ(cos2θ+sin2θ) =9a2cos2θsin2θ dL/dθ=3acosθsinθ =3acosθsinθ =3a(1/2)sin2θ dL=∫(3a/2)(sin2θ)dθ L=(3a/4)(-cos2θ)+C =-(3a/4)cos2θ+C θ=0 のとき,L=0 から,C=3a/4 L=-(3a/4)acos(2θ)+3a/4 θ に π/2 を代入すると, L=-(3a/4)acos(2×π/2)+3a/4 =-(3a/4)(-1)+3a/4 =3a/2 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (答) http://imai48-hp.hp.infoseek.co.jp/japanese/bibun/no010.html -------------------------------------------------------------------------------------- ですから、(3a/2)×4=6a -------------------------------------------------------------------------------------- へこんだ円という印象ですね。図は http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/CAsteroid.html 図をかくには http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/index.html
お礼
図までありがとうございました^^
- oshiete_goo
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x=a・cos^3t[=a・(cost)^3] y=a・sin^3t と置いてみて下さい.
お礼
アドバイスありがとうございました^^ 置いてみたらできました!
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ありがとうございました! とてもわかりやすいです^^