三次関数の接線

質問

三次関数の曲線と、直線が重解を持ったとき直線は曲線に接する

となるのはなぜですか？　

また三次関数に点＜ｘ.ｙ＞から三本の接線がある具体例を教えてください。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

＞＞＞三次関数の曲線と、直線が重解を持ったとき直線は曲線に接するとなるのはなぜですか？

三次関数をｆ（ｘ）、接線をｇ（ｘ）と置きます。
そして、
ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）　＝　ａ（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）（ｘ－ｄ）
と置きます。
（ｂ、ｃ、ｄが虚数である場合を含みます。）

すると、接するか、あるいは交わる点のＸ座標は、
ｂ、ｃ、ｄ　の３つです。

微分の準備
ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）　＝　ａ（ｘ－ｂ）（ｘ－ｃ）（ｘ－ｄ）
　＝　ａ（ｘ^2　－（ｂ＋ｃ）ｘ　＋　ｂｃ）（ｘ－ｄ）
　＝　ａ（ｘ^3　－（ｂ＋ｃ）ｘ^2　＋　ｂｃｘ　－　ｄｘ^2　＋　ｄ（ｂ＋ｃ）ｘ　－　ｂｃｄ）
　＝　ａ（ｘ^3　－（ｂ＋ｃ＋ｄ）ｘ^2　＋　（ｂｃ＋ｃｄ＋ｄｂ）ｘ　－　ｂｃｄ）

微分
ｆ’（ｘ）＝　ａ（３ｘ^2　－　２（ｂ＋ｃ＋ｄ）ｘ　＋　（ｂｃ＋ｃｄ＋ｄｂ））

これがゼロであるときのｘが、接する点のＸ座標です。
その一つが　ｘ＝ｂ　であるとすれば、
ａ（３ｂ^2　－　２（ｂ＋ｃ＋ｄ）ｂ　＋　（ｂｃ＋ｃｄ＋ｄｂ））　＝　０
３ｂ^2　－　２（ｂ＋ｃ＋ｄ）ｂ　＋　（ｂｃ＋ｃｄ＋ｄｂ）　＝　０
ｂ^2　－　（ｃ＋ｄ）　＋　ｃｄ　＝　０
（ｂ－ｃ）（ｂ－ｄ）　＝　０

よって、ｂ＝ｃ　か、または、ｂ＝ｄ　です。
そして、上記では、ｂが接点であることを仮定していました。
ということは、ｘ＝ｂ　は重解であるということです。

＞＞＞また三次関数に点＜ｘ.ｙ＞から三本の接線がある具体例を教えてください。

たぶん、
・Ｘ座標は三次関数の２つの極値より外側
・Ｙ座標は三次関数の２つの極値の間の値
であれば、引けそうです。

たとえば、三次関数が
ｙ　＝　ｆ（ｘ）＝　ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）
であるとき、
点（－３，　０）から３本の接線が引けそうです。

計算で確かめていませんが。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.5

noname#111804

訂正
３本の接線を持つ３次曲線は存在する。

回答No.4

mister_moonlight

＞関数：y＝x＾3-3x　の表す曲線に、点Ｐから相異なる3本の接線が引ける時、点Ｐの存在する領域を求めよ

y＝x＾3-3x　の上の点をＡ（t、t＾3-3t）とし、Ｐ（α、β）とする。
点Ａにおける接線は、y＝（3t＾2-3）*（x-t）＋（t＾3-3t）であるから、これが点Ｐ（α、β）を通るから、tについて整理すると、f（t）＝-2t＾3+3αt＾2-（β+3α）。
これが、相異なる3つのtの実数解を持つから、f（t）において（極大値）*（極小値）＜0.
つまり、（β+3α）*（β+3α-α＾3）＜0　から、流通座標に直して、（y+3x）*（y+3x-x＾3）＜0。

回答No.3

noname#111804

３本の接線を持つ３次曲線は存在しない。

回答No.2

mister_moonlight

＞三次関数に点＜ｘ.ｙ＞から三本の接線がある具体例を教えてください

そんなものはいくらでもある、と言うより、問題の設定が逆だろう。

関数：y＝x＾3-3x　の表す曲線に、点Ｐから相異なる3本の接線が引ける時、点Ｐの存在する領域を求めよ。

これを求めると、その領域の点からは全て異なる3本の接線が引ける。