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円周率の求め方
円周率は３，１４１５９２…… などといいますが、 どのような式から出ている答えなんですか？ 知ってる方、教えてください。
- xx_sara_xx
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最も簡単な式は 円周÷直径 他には マチンの式 π/4=4atn(1/5)-atn(1/239) ハットンの式 π/4=3atn(1/4)+atn(5/99) オイラーの式 π/4=atn(1/2)+atn(1/3) ベガの式 π/4=4atn(1/5)-2atn(1/408)+atn(1/1393) ダーゼの式 π/4=atn(1/2)+atn(1/5)+atn(1/8) ガウスの式 π/4=12atn(1/18)+8atn(1/57)-5atn(1/239) ラザフォードの式 π/4=4atn(1/5)-atn(1/70)+atn(1/99) クリンジェンシェルナの式 π/4=8atn(1/10)-atn(1/239)-4atn など
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- ojisan7
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現在は、無限級数展開を利用する方法が一般的ですが、アルキメデスは円に内接、外接する正多角形の周長で計算し、３桁求めるのがせいぜいでした。 しかし、今はコンピューターの時代です。アルキメデスの方法でも、５０桁や１００桁は一瞬にして求めることができます。 これ↓は今、アルキメデスの方法によって求めた値の一部です。（正6*2^ 100角形で計算しました。） 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494450・・・ 誰でも、家にいながら一瞬にしてこの計算ができるのですから、すごい時代になったものだと感心させられます。
お礼
アルキメデスは聞いた事がありましたが、そういう事だったんですね。 コンピューターってすごいですね！ ありがとうございました。
色々ありますが、早く正確に求めるならarcsinのテイラー展開に1/2を代入して6を掛ける方法があります。 ここでは式が複雑になって説明しにくいので、以下のURLを参照してください。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2
お礼
わかりやすいURLまでありがとうございます。 歴史までよくわかりました！
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まず、「X=√3」とします。 その「X」に「2」を加えます。 つまり、「X=2+√3」となります。 その値の平方根を求めます。 つまり、「√(2+√3)」となります。 その値を、「X」に代入します。 つまり、「X=√(2+√3)」となります。 その「X」に「2」を加えます。 つまり、「X=2+√(2+√3)」となります。 その値の平方根を求めます。 つまり、「√(2+√(2+√3))」となります。 その値を、「X」に代入します・・・。 この「X」に「2」を加えて平方根を求めることを、適当な回数繰り返します。(繰り返した回数を「N」とします。) 続いて、上記の計算の答えの「X」と「N」を次の式「2^(N+1)×3×√(2-X)」に当てはめます。 すると、繰り返す回数が多いほど円周率の「3.1415…」に 近づくのですが、これと「まったく同じ」という円周率の公式はあるのでしょうか？あるとしたら、公式の名前を教えてください。 わかりにくい質問でごめんなさい。 ちなみに、実際に計算した場合、「N=2」のとき(「2」を加えて平方根を求めることを2回繰り返したとき)は「X=1.9828897・・・」となり、次の式に値を代入すると「2^(2+1)×3×√(2-1.9828897)」、答えは「3.139352・・・」となります。
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お礼
こんなにたくさん式があるんですね！ 円周÷直径 なるほど、という感じです。 ありがとうございました。