指数の問題です（数学(2)）

質問

y=4^x+4-^x-3(2^x-2^-x)+2を考える
2^x-2^-x=tとおくと
y=t^2-3t+4
t=3/2のときyは最小となる
2^x=aとおくと2^x-2^-x=3/2のとき
a^2-3/2a-1=0
これよりa=2,x=1,

すなわちx=1のときt=3/2となりこのときｙは最小で
最小値はy=7/4である（←意味不明）

最小値を求めるには平方完成をするのではないんですか？
どうしてaの方程式を解くことで最小値7/4といえるのですか？

詳しく教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.3

hinebot · ベストアンサー

まず、
>y=4^x+4^-x-3(2^x-2^-x)+2を考える
>2^x-2^-x=tとおくと
>y=t^2-3t+4
ここまでは大丈夫ですね。
このあと、
>t=3/2のときyは最小となる
といきなりなってますが、
------------------------
y =t^2-3t+4 =(t-3/2)^2+7/4
------------------------
という変形が省略されてます。ここで平方完成している訳です。
これにより、y は t=3/2　のときに　最小値 7/4 をとることが分かります。

あとは、このとき（ｙは最小となるとき⇔t=3/2のとき）のｘの値を求めているだけです。
t=2^x-2^-x でしたから
t=3/2 すなわち　2^x - 2^-x =3/2
で、これを解くためにさらに 2^x=a とおいている訳です。
ここでも、すぐに
>a^2-3/2a-1=0
>これよりa=2,x=1
としていますが、もう少し詳しく書くと
------------------------
a-1/a = 3/2
両辺にaを掛けて　a^2 -1 = 3/2a
a^2 -3/2a - 1 = 0 すなわち 2a^2-3a -2 =0
(a-2)(2a+1)=0
∴ a = 2 or -1/2
a=2^x >0 より、a=2
よって、2^x = 2 ∴ x=1
------------------------
となります。(#1さんの言われるとおり　x=-1もありえそうですが…）
これで分かりましたか？

お礼

回答の順を追ってもう一度解いてみたらわかりました。
tが最小値をとるとき、ｘの値はどうなるかというのを求める。
tというのは2^x-2^-xのことだから、xの値は平方完成をしたときに
求めたtの値とつながるということですよね？

わかりやすい回答をどうもありがとうございました。

回答No.2

sippouhugu

さっき書き込んだ＃１です。
今、自分の書いたものを読んで、「なんだか意地悪な言い方に読めちゃうな。」と心配になってしまいまして・・・・。
もとの問題がわからなかったのと、「funsky237225さんが疑問に思っている点を、正しく受けとめてるかな～？」という不安が、「どこがわからないんでしょうか？」発言になってしまいました。
もし、「こんな問題もわからないの～？」って、いう風に読んじゃったら誤解です、ごめんなさい。

お礼

いえいえ、そんなことないです(^^)
文字でわからないところを伝えるのって難しいし、
それを読んで理解してもらうというのもまた難しいことだと思います。
なんとなくわかっているんだけど核心がつかめないとき、
どこがわからないということを文字で表すのは本当に悩んでしまいます。

もともと数学は苦手な方なので、また掲示したときはよろしくお願い
します。

回答No.1

sippouhugu

えっと、どこがわからないのでしょうか？
この問題は、ｙの最小値を求める問題ではなくて、その時のｘを求める問題ですよね？
最小値は、ｙとｔの二次方程式を説いた時点で、もう、わかりますから。
（ｔ＝３／２を代入すれば、ｙ＝７／４）
でも、じゃあｔってｘであらわすと何？ということで、
ｘとｔの方程式を解くのに、わかりやすくするために、途中でａを使ったってことで・・・。

ところで、「ｘ＝１またはー１　」ではないですか？
２０年ぶりの数学、楽しかったです。