どこが間違っていますか

質問

スマリアンの出した問題をアレンジし換えました。
一方には他方の5倍の金額が入っている事が解っている2つの封筒があります。「Aさん、どちらでもお好きな方をおとり下さい、差し上げます」「それでよろしいですか、もう一方と取り替えてもいいですよ」（普通は封筒に入っているのをa円、5a円とした時、とってきたものの期待値も、残っているものの期待値もともに3a円だから特に取り替えることはしない）　　所がAさんはこう考えました[今私の持っている封筒にb円が入っているものとするともう一方には5ｂ円又は1/5ｂ円
その期待値は((5/2)+(1/10))b円でｂより大きいので取り替えるべきだ]
Aさんの考え方は如何ですか正しいですか?間違っているならどこがどう間違っていますか？普通の考え方はどうですか？開けて5万円が入っていたときにはもう一方の期待値は13万円という考え方はどうまちがっていますか？学生がＡの様な解答をしたときどう評価しますか

回答No.25

hatake333 · ベストアンサー

補足を読んだ限りでは，質問文は以下のように訂正できそうですが，如何ですか？

「Ａさんはa円の金額を知らされないまま，一方はa円が，
他方は5a円が入っている2つの封筒のうち無作為に1つ選んだ．
このとき，選んだ封筒の中の金額の期待値と残された封筒の中の金額の期待値は
共に3a円となり，選び直す必要はない．
一方，選んだ封筒の中の金額をb円と仮定すると，もう一方の残された
封筒の中の金額は5b円，または，(1/5)b円と表現できる．
ただし，この時点での，b = aである確率は1，または，0，
同様に，b = 5aである確率は1，または，0であるものとする．
このとき，残された封筒の金額が5b円と(1/5)b円のどちらになるのかは
Ａさんがはじめにa円，または，5a円のどちらを選んだかですでに決しているので，
残された封筒の金額が5b円，または，(1/5)b円となる確率は共に1/2であると考えられる．
したがって，残された封筒の中の金額の期待値は
　(5b*(1/2) + (1/5)b*(1/2) = (13/5)*b
となる．しかし，これは仮定したb円よりも大きいので選び直した方が
良いことになり矛盾が生じた．
選び直す必要は無いことは確かなのだが，上記の矛盾はどこから生じるのだろうか？
自分なりに原因は特定しているが，それに自信がないため，
原因に対する共通見解をもらいたい．」

上記の質問内容でしっくりくるようでしたら，
少なくとも，zenin氏の考える「原因」について質問文に書いていただかないと，
zenin氏の考える「原因」が間違っているのか，
問題文が誤解を招いて，クリティカルな意見が出ないのか，
そもそも問題文の内容が成り立たないのか，
結局は分からないので，永久に解決できません．
かなり古い質問文になってしまっているので，新規で見る方も少ないでしょうし，
まだもし，共通見解を求められるようでしたら，
上記を踏まえて新しく質問し直されることをお勧めします．

補足

問題の出し方から貴方は私の考えている矛盾の原因がお分かっていられる様におもいます。
＞ただし，この時点での，b = aである確率は1，または，0，
＞同様に，b = 5aである確率は1，または，0であるものとする．
これは仮定のようにお書きになっていますが（何回か示唆している様に）これが結論ですよね。多い方の5a（少ない方のa)を採ってくる確率は確かに共に1/2ですが取って来たbは多いほうか少ない方かが決まっています（どちらかは分からないが）。コイントスで表、裏が出る確率は1/2ですが投げた結果は表、裏が決まっています。bを中心にして考えるのですから、bが多い方である確率は0又は1。その時残りb/5は確率1又は0で1/2ではないと思いますが、どこかまちがっていますか？
何回か（明確にではないが）云っている積もりなのですが反論も同意も得ていません。どうしてでしょう。あまりにも簡単すぎますか

回答No.5

arrysthmia

←N0.3 補足
貴方が「普通の考え」と称する「採ってきたものも残っているものも期待値は共に3a」
という考え方は、貴方が仰る理由で、結果的に p=1/6 という考えと同値です。
それに賛成するも、しないも、単に主観的な話題に過ぎませんが、私は、賛成しません。
それは、ある意味「妥当」ですが、定量的には精密さに欠けます。

類題で考えてみましょう。
袋の中に、大きさも、重さも、手触りも差が無い、白球と黒球が入っているとします。
何個入っているかは、分かりません。
袋から一個の球を取り出すとき、白球に賭けるのと、黒球に賭けるのと、どちらが有利ですか？

私なら、「袋の中の個数比が分からなければ、どちらが有利かは分からない」と答えます。
「普通の考え」は、「どっちが有利化は分からないのだから、どちらに賭けても同じだ」
と答えているのです。
私の答えより、一階メタな回答となっています。そして、確率論的な評価は放棄しています。
話が噛み合っていないだけで、状況の理解は共通していると思いますが。

補足

「期待値が3a」はが定量的に精密さにかけるとはどう云うことですか？　　どの様なものを「定量的に精密」というのですか？　　「普通の考え」というのは通常確率論で用いられる考え方です。「取り替えるなら初めからそちらを選んで来ればよい」はその裏付けともなっています。
初めから2枚の封筒（とその中身）は固定されているのですよ。
袋の中には黒か白かどちらかが1つだけ入っている状態と言えるでしょう　貴方の仰るNo.3のp は0か1なんです（No.3をリファーする仕方が分からないので間違ってたら御免）
どの時点のことを言っていらしゃるかわからないのですが「どちらが有利か分からない」で済まされるのでなく、賭はしなくてはならない時と考えるべきです。

回答No.4

jokyoju

期待値とは確率を考慮した平均値と考えれば
最初に封筒にa円,5a円入っていたとすれば。

封筒を渡す方（中身がわからない人）にとって選ばれた封筒の中身の期待値は3a円、残っている封筒の中身も3a円となります。

Aさんの選らんだ封筒の中身が5万円の場合、封筒の中身はわかっているのではじめの金額a円と5a円を推測することになります。
期待値は3a円なので3a=50000となり、はじめ封筒に入っていた金額の期待値は5/3万円と25/3万円となります。

違う封筒を選んだ場合の期待値
5/3万円*（1/2）+25/3万円*（1/2）=5万円
これは現在の金額とおなじなので交換しても
意味がないことになります。

補足

この解答は最近の学生さんによく見かけるパターンですね　
　何が正しかを聞いているのでなくAの考え方の何処が、何故間違っているかを問うているのです。
数学は論理であり説得術ですので、数学の教官は人の主張を聴き、それが間違っているならその理由をハッキリ指摘する責任と義務があるのですよ

回答No.3

arrysthmia

二つの封筒の中身は、(b 円と 5b 円) か (b 円と b/5 円) か
どちらかの組み合わせで、それ以外はありえません。
二つの組み合わせが、どうような確率で用意されるのか
については、問題文に状況設定がありません。
(b 円と 5b 円) が用意されている確率を p、
(b 円と b/5 円) が用意されている確率を 1-p
と置いてみましょう。
ここで重要なことは、何の根拠もなく勝手に p の値を
p = 1/2 とか決めてはいけない　ということです。
問題に与えられていない仮定を追加すると、
解は一般的でなくなってしまいます。

どちらの封筒の組が用意されて、その内どちらを
最初に渡されるか、ありえる状態と、それぞれの確率は…
[1] (b 円と 5b 円) の組から b 円を渡される
　　確率 P_1 = p (1/2)
[2] (b 円と 5b 円) の組から 5b 円を渡される
　　確率 P_2 = p (1/2)
[3] (b 円と b/5 円) の組から b 円を渡される
　　確率 P_3 = (1 - p) (1/2)
[4] (b 円と b/5 円) の組から b/5 円を渡される
　　確率 P_4 = (1 - p) (1/2)
これが、事前確率分布です。

ここで、最初に渡された封筒に b 円が入っていた
という情報が与えられると、ありえる状態は [1] と [3]
に限定されますから、それぞれの事後確率は…
[1*] (b 円と 5b 円) の組から b 円を渡されていた
　　確率 q_1 = P_1 / (P_1 + P_3) = p
[3*] (b 円と b/5 円) の組から b 円を渡されていた
　　確率 q_3 = P_3 / (P_1 + P_3) = 1 - p
となって、封筒を交換する場合の中身の事後期待値は、
　　E = (5b) q_1 + (b/5) q_3 = b (24 p + 1) / 5
です。

E が b より大きいと推定するか否かは、
p の値を (24 p + 1) / 5 > 1 と見積もるか否か次第
で、数学の枠外の主観的評価となります。
Aさんの立場で言えば、
５万円という額が少ない(pが大きい)と思えば交換する。
５万円は多い(pが小さい)と思えば交換しない。
アタリマエといえばアタリマエのことですね。

補足

早速解答有難う。私の元同僚の数理統計学者も同じような事を言っておりましたが　　　　普通の考え（採ってきたものも残っているものも期待値は共に3a,　或いは取り替えるなら初めからもう一方のものを取ってくればいい）と云うのは正しいと思いますが　　それならば貴君のおっしゃるＥ＝1　i.e.(24p+1)/5=1 でｐ＝1/6と云うことですか？
採ってきたものを開けて5であった時初めのペアが(1,5)又は(5,25)であると断定出来ますが与えられた情報からはどちらが多いと云う様な事は全く得られないのでその時には（サイコロで2の出る確率も5の出る確率も1/6考えると同様に）同じ確率で起こると考えるのが妥当でありませんか。
尚　私は最初の2枚のうち多いほうを取る確率も少ない方を採る確率も共に1/2であるが、とってきたｂは多いほうか少ない方か決っているので多いほう（少ないほう）の確率は0又は1で1/2でないと考えていますが

回答No.2

hatake333

面白ですね．大きな間違いがある箇所は
>今私の持っている封筒にb円が入っているものとするともう一方には5ｂ円又は1/5ｂ円
の「5ｂ円又は1/5ｂ円」でしょう．
たとえば，b = 1000 のとき，5b = 5000 , (1/5)b = 200 です．
しかし，その比は 5000/200 = 25倍となります．
得られる金額は1000か5000ですから，仮定の5倍に反しますよね．
つまり，期待値をとる状況が巧妙に摩り替わっているわけです．
どういうことかというと，
前半は
　「aと5aのどちらかが確率1/2でもらえる場合の期待値」
後半は
　「bを基準として，5bと(1/5)bのどちらかが確率1/2でもらえる場合の期待値」
ということです．ですから，質問の答えは以下のようになります．

>Aさんの考え方は如何ですか正しいですか?間違っているならどこがどう間違っていますか？
　間違えです．間違え箇所は上記前半後半の部分を同一視しているところと，さらに，状況の異なる前半後半の期待値を単純比較してしまったところです．後半の場合ですので，期待値比較をするなら後半同士となります．つまり，取り替えるか，取り替えないかは，後半だけの中で比較すべきです．
具体的に後半の中で，(1)交換，(2)非交換　を比較してみましょう．
(1)はじめに5bを持っている確率1/2で，交換して(1/5)bを得る．または，
　はじめに(1/5)bを持っている確率1/2で，交換して5bを得る．
　　期待値 = (1/2)*(1/5)b + (1/2)*5b = (13/5)b
(2)はじめに5bを持っている確率1/2で，非交換．または，
　はじめに(1/5)bを持っている確率1/2で，非交換．
　　期待値 = (1/2)*5b + (1/2)*(1/5)b = (13/5)b
よって，交換してもしなくても期待値は変わらない．交換するだけ無駄ということになります．

>普通の考え方はどうですか？開けて5万円が入っていたときにはもう一方の期待値は13万円という考え方はどうまちがっていますか？
　質問の意図を正確に読み取れていないかもしれませんが，
普通に考えておかしいと思える状況だからこそ「どこが間違っているか」
ではないでしょうか．あけて5万が入っていたときに，もう一方の金額が知りえるのならば期待値13万円が妥当かおかしいか判断できるでしょう．
もう一方が1万円なら，はじめから13万円でることはないから，おかしいわけです．しかし，25万円でも15万円にはならないからおかしいんですが，不運の方がダメージが大きいから控えめに知らせてあると思えば妥当だと感じるかもしれませんねｗ

>学生がＡの様な解答をしたときどう評価しますか
　非常に優秀な生徒に属しますね．かなり高度な思考をしています．期待値の基本的な意味と求め方ができており，さらに，文章題の問題を2通り以上の考え方で求めようとしているわけです．さらに，明らかに交換しても無意味な文脈で，「交換すべき」という結論が生じてしまい，その矛盾に気付き，その矛盾の把握がしたいが，かゆいところに届かないといった感じなのでしょう．
もし，期待値3aの説明後も，自分の考えに固執し，3aはおかしいとするのであれば，若干客観性に問題ありともとれますが，なぜ異なる結果が生じるのかを求めているのならば，さほど問題ではないでしょう．
　教師は矛盾点をすぐにクリティカルに答えられなくても，「絶対おかしい」という思いを共有して，最後まで一緒に考えられれば生徒は満足するでしょうね．
　質問は「どう評価するか」なので，評価の観点が不明ですが，
関心・意欲・態度◎，見方・考え方◎（○），表現・処理◎，知識・理解◎
ですかね．

補足

早速有難うございます。少し問題を誤解なさっている所があるように思います。(1),(2)等（私が悪いのですが）
私は最初に金額の多いほうを採ってくる確率も少ない方を採ってくる確率も1/2ですが、とって来たｂは2枚のうちの多いほうか少ないほうかが決っているので多いほうである（すくないほうである）確率は1/2ではなく　0又は1であると思っていますが如何ですか？　　なほ取ってきたものが開けて5であった時、2枚の封筒が（1,5）のペアであったか（5,25)の対であったかに付いての情報がまったく得られないのでこれは与えられた問題だけでは共に1/2の確率と考えるべきでその時取り替えた時の期待値は（1/2）+（25/2）＝13となって...なんだか変ですね　　　私の元同僚の数理統計学者は（1,5) (5,25)は同じ確率あると考えるべきではないと言っていましたが

回答No.1

ORUKA1951

まあ、手持ちの封筒を返さないなら正しいかと。
b+{(5b-b)+(b-5b)}/2=b
では？

補足

質問が、舌？足らずであった為かも解りませんが（他の人はきちんと理解して下さっている）　どこの　何に　如何答えて下さっているのか
不明です。
数学は論理であることに留意なさって下さい。