０の０乗は１、にしたい（続き）

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html
の続きです。

０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。
でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。

そこで、べき乗（累乗）の定義を
　ｘ＾０＝１
　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数）
としてしまえば、０＾０は当然１になります。

＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。

この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？

なお、常識的には…という話は、遠慮願います。
＃Wikipediaも変わりますので。

これまでの議論で主張したこと：
(1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。
(2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。
(3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外）
(4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。
(5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。
(6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。
(7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。
(8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。

たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。
＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

回答No.32

ringohatimitu

No.31さんが何度も注意しているように別の空間で考えるだけの話ですから元のx^yの「ユークリッド空間における」連続性の議論とは全く関係ありません。

ところでNo.31補足にある説明はほとんどよく分かりませんがあなたは平面上の２点間の「距離」を導入しようとしてるわけですね？なのになぜ「曲線が(0,0)に近い」という概念が出てくるのですか？今度は点と曲線の距離とか曲線と曲線の「距離」を暗に定義されてるのですか？

数学に対する好奇心はとても重要でそういった探究という意味ではとても良いと思いますが注意しなければならないのは自己流で不正確な議論のまま数学をやっていくのは逆に危険だということです。誤った知識のままそれが頭から離れなくなってしまうからです。現にあなたは距離という考え方を正しく理解してるようには思えませしあやふやなまま続けようとしています。他の色々な考え方も十分に吸収出来るようにすることの方が今の段階では質問者さんにとって重要なことだと思います。とりあえず基礎的な事柄を一通り学んでみて（位相、微積分など）、しばらく経った後で今考えていた事を振り返ってみてはどうでしょうか？あの時は随分と自明なことを考えていたものだと思うことも私自身たくさんありました。色々自分なりの定義を試したことも何度もあります。ただその正当性を理解する為には他の定義の背景などもしっかりと理解し、更に自分が何を目的としてそうするのかはっきりと「数学的に」分かってないとナンセンスになってしまいます。これは当然「数学的に厳密な記述が出来る」ことも含みます。しっかりとした枠組みの中で明確な記述が出来ない場合その考えは誤ってる場合が多いです。
以上長くなりましたが参考までに。

お礼

＞元のx^yの「ユークリッド空間における」連続性の議論とは全く関係ありません。

そうですね。
でも、別の位相だろうと、それで微分可能になれば、真実味が出てくる訳です。

＞なぜ「曲線が(0,0)に近い」という概念が出てくるのですか？

曲線と点との距離は、最短距離として定義されていると思います。
そして曲線と点の距離が０とは、接することだと思います。

＞他の色々な考え方も十分に吸収出来るようにすることの方が今の段階では質問者さんにとって重要なことだと思います。

今現在存在する問題に対して必要な知識を得て行く方が、知識の獲得がうまく行く場合もあります。
大抵の公式などは、そうやって必要があって編み出されたものでしょうし。

＞これは当然「数学的に厳密な記述が出来る」ことも含みます。

すみませんが、興味ないです。それで迷惑なことは理解しますが…
あくまでも趣味の数学ですので、誤りは怖くないのです。

でも、Wikipediaにあいまいなままの知識を記述することはしませんから、それは心配しなくていいです。
表現の間違いだけならば、誰かが直してくれるでしょう。

ありがとうございました。