この式の導出ができません

質問

∂φ/∂t=α*∂^2φ/∂x^2 (α>0)

において

φ=exp(-1/(2α)*∫udx)

を代入して

∂u/∂t + u*∂u/∂x =α*∂^2u/∂x^2

となることを示せ。

このφの偏微分の方法がわかりません。
どなたか教えていただけませんか。
簡単な例でもかまわないのでお願いします。

回答No.1

noname#161582 · ベストアンサー

φ=exp(-1/(2α)*∫udx)

を素直に微分するだけです。

∂φ/∂t=-φ/(2α)*∫(∂u/∂t)dx

∂φ/∂x=-φu/(2α)　→　∂^2φ/∂x^2=φu^2/(4α^2)-φ/(2α)*∂u/∂x

この結果を

∂φ/∂t=α*∂^2φ/∂x^2

へ代入して整理すると

∫(∂u/∂t)dx=-1/2*u^2+α*∂u/∂x

もう一回xで微分して

∂u/∂t=-u*∂u/∂x+α*∂^2u/∂x^2

を得ます。

お礼

ありがとうございました。
丁寧に解いて頂き大変分かり易かったです。
偏微分する時に積分を含んでると違和感が感じられたのですが，丁寧にやってみれば実に素直な問題であることに気づかされました。
それと同時に，自分の不甲斐無さを痛感いたしました。この機会に計算を解くという動作をもう少し増やしてみようと思いました。

回答No.2

noname#70519

φ に exp[{-1/(2α)}・∫udx] を代入し、与式を簡単化する。
（簡単化のために、{-1/(2α)}・∫udx=g(u) とする）
∂φ/∂t=[exp{g(u)}]・{∂g(u)/∂t}
∂φ/∂x=[exp{g(u)}]・{∂g(u)/∂x}
∂^2φ/∂x^2=[exp{g(u)}]・{∂g(u)/∂x}^2+[exp{g(u)}]・{∂^2g(u)/∂x^2}

∴　[exp{g(u)}]・{∂g(u)/∂t}
=α・（[exp{g(u)}]・{∂g(u)/∂x}^2+[exp{g(u)}]・{∂^2g(u)/∂x^2}）

両辺を [exp{g(u)}] で割って
　{∂g(u)/∂t}=α・[{∂g(u)/∂x}^2+{∂^2g(u)/∂x^2}]

∂g(u)/∂t={-1/(2α)}・∫(∂u/∂t)dx
∂g(u)/∂x={-1/(2α)}・u
∂^2g(u)/∂x^2={-1/(2α)}・(∂u/∂x) を代入すると

{-1/(2α)}・∫(∂u/∂t)dx
=α・（[{-1/(2α)}・u]^2+[{-1/(2α)}・(∂u/∂x)}]）

∫(∂u/∂t)dx
=α・[{-1/(2α)}・u^2+(∂u/∂x)]

x で微分すると
∂u/∂t=2α・{-1/(2α)}・u・(∂u/∂x)+α・(∂^2u/∂x^2)
∂u/∂t=-u・(∂u/∂x)+α・(∂^2u/∂x^2)

∴　(∂u/∂t)+u・(∂u/∂x)=α・(∂^2u/∂x^2)

お礼

丁寧な解説ありがとうございました。
最初の方の説明を確認しながら解いてる途中でこの方法を知らされ感心させられました。
おそらくexpの中身がもっと複雑な場合にはこの方法が良いかもしれません。今回は最初の方の方法でも解けましたので『良回答』とさせていただきましたが，今後同じように行き詰った際にはこの方法を使わせていただきます。