確率・統計

質問

ある都市のタクシー会社はブルーキャブとイエローキャブという２社のみで、ブルーキャブは青い車でイエローキャブ黄色い車である。イエローキャブのシェアは全体の８５％を占めている。
ある晩にひき逃げが発生した。目撃者は事故車は青いタクシーだったと証言。弁護士は目撃者はひき逃げが発生した晩の状況下で８０％の確率で正しく車両を識別できると主張し、事故車はブルーキャブ社の車両として訴えた。

この弁護士の主張は正しいといえるか？

という問題なんですが考え方と解答をお願いします。

回答No.7

oruka · ベストアンサー

質問者さんは＃３の返事からほぼ解決されたかと思われますが、締め切られていないので質問者さんのご好意（だと勝手に判断(^^;)に甘えてもう一回だけ書き込みます。
＃６の問題について
この事故が金によるものである確率は＃４でjunさんがやった通りですので、この事故は黒(のいずれか)によるものの可能性のほうがはるかに高い。
ですから証言以外の捜査を全くせずに有罪にはできないでしょう。
前回の解答は少し説明不足でしたか、＃４の主張自体は正しいですよ。
「ただその計算結果に対して違和感を感じてしまうのは金１台と黒９９９９９台の合計とを比べていることを忘れてしまいがちだからだ」といいたかったのです。

「９９％で正しく認識できる」ということの定義は案外デリケートです。この町で１０万回の事故（実際には確率どおり金０～２回くらいと黒９９９９８～１０万回くらいだったとします）を目撃したとします。彼はそのち約１０００回は金だったと主張しているはずです。あとの９９０００回は黒だったと主張するでしょう。１０万回中１０００回間違いますがそのうちほとんどすべてが金と主張した時です。彼自身はその都度９９％正しく判断していますが、「金と主張した時だけを集めてみると」ほとんどはずれていたことになるのです。従って彼が金だと主張した時には要注意！となるのです。
普段の生活でも、すごく稀なことを目撃した時は、（普通の現象を目撃したときより）「我が目を疑って」より何度も見直そうとしますよね。あれはちゃんと理にかなった行動なのです。

＞junさん
ここではこれくらいで、まだ納得されないようでしたら新たにスレッドを立ててください。

お礼

本当にありがとうございました。
junさんから反応がないようなので
締め切らさせてもらいます。

回答No.6

jun1038

すみません。どうも数学には疎くて、２つの違いがよくわかりません。
質問者さんをさしおいて大変恐縮なのですが、次ではどうですか。
（質問者さんの文章を少しだけ手直ししたものです。）

ある都市のタクシー会社は金ぴかタクシー（個人）と黒塗りタクシー（大手）という２社のみで、金ぴかは金ぴかの車で黒塗りは黒い車である。金ぴかは１台に対し、黒塗りは９９９９９台ある。
ある晩にひき逃げが発生した。目撃者は事故車は金ぴかのタクシーだったと証言。弁護士は目撃者はひき逃げが発生した晩の状況下で９９％の確率で正しく車両を識別できると主張し、事故車は金ぴかタクシー（個人）の車両として訴えた。

この弁護士の主張は正しいといえるか？

よろしくお願いします。

回答No.5

oruka

４さんから面白い設定があったので、それについての説明を（質問者さんよいですか？）

金ぴかの車１台(である確率と)そのほかの９９９９９台(のいずれかである確率)の「合計」とを比較するところに無理があるのです。
金持ちドライバーの疑わしさは、そのほかのドライバー１人と比べれば明らかに９９倍です。(計算は省いても大丈夫ですよね？)

ですからこの意味ではそれぞれの青キャブ１台と黄色キャブ１台の疑わしさは、青：黄色＝８０：２０なのですが、会社ひとくくりとして青キャブ社と黄色キャブ社の比となると先の答えの通りになるのです。

実際の裁判でこの確率をどう判断すべきかは数学の範疇ではありませんが、証人１人の証言だけでは(その他の状況証拠なしで)この金持ちの疑わしさは他の市民の「たったの」９９倍でしかないことは事実ですね。

回答No.4

jun1038

こんばんは。数学にはド素人なのですが、便乗質問をさせて下さい。
（実は私は、ＮＯ．２の方のように考えてしまったので。）

ある町に１０万台の自動車があって、
１台だけ金ぴかで、残りの９万９９９９台は黒でした。
ある時、ひき逃げ事件が起こって、目撃者はその車は金ぴかだったと言いました。
夕方の薄暗いときでしたが、９９％の確率で金ぴかだろうと思われました。

金ぴか車の若者に雇われた弁護士はこう主張しました。

この町の車がひき逃げ事故を起こす確率が同じと仮定して、
金ぴか車がこの事故を起こしてそれを正しく金ぴかだと認識する確率は、
　１０万分の１＊０．９９＝０．０００００９９　　　　　　（１）
黒い車がこの事故を起こしてそれを誤って金ぴかだと認識する確率は、
　９万９９９９／１０万＊０．０１＝０．０９９９９９９　　（３）
この若者が実際に事故を起こした確率は、（１）／（（１）＋（３））で、
これは、　０．００９８９％　　である。
よって、この若者は、無罪と考える方が妥当性が高い。

この弁護士の論法は正しいですか。

ではまた。

回答No.3

oruka

No1さんの回答が正しいのですが、No2の方は誤解されているようで、二人の説明が食い違って混乱されているのでは？と思い少し丁寧にかいてみます。

まず大前提としてそれそれの黄色タクシー(１台)と青タクシー（１台）の事故の起こしやすさ自体は平等であるとします（これがないと話が進まない）
すなわち、これを逆からいうと
「ある事故が、青の起こしたものなのか黄色の起こしたものなのかは、青と黄色の構成比率に等しい」となります。

あるひき逃げが青が起こしたものである確率=0.15
あるひき逃げが黄が起こしたものである確率=0.85　となります。
従って、

ひき逃げが青によるものでそれを(正しく)青だと判断した確率=0.15*0.8=0.12　（１）
ひき逃げが青によるものでそれを(誤って)黄だと判断した確率=0.15*0.2=0.03　（２）
ひき逃げが黄によるものでそれを(誤って)青だと判断した確率=0.85*0.2=0.17　（３）
ひき逃げが黄によるものでそれを(正しく)黄だと判断した確率=0.85*0.8=0.68　（４）

くどいようですがここで
ひき逃げが青によるものである確率＝（１）＋（２）＝０．１５
ひき逃げが黄によるものである確率＝（３）＋（４）＝０．８５

目撃者が正しく判断した確率＝（１）＋（４）＝０．８
目撃者が誤って判断した確率＝（２）＋（３）＝０．２

とちゃんとなっていることを再確認しておきますね。

さてここからが条件付確率の考え方です。今目撃者は青と判断していることが確定しています。すなわち（１）か（３）のいずれかが起こったことが確定しているのです。ここでそれが青であったのか黄であったのかの確率は、「（１）＋（３）を全体として、そのうちの（１）の占めている割合と（３）の占めている割合」として求めるのです。
従って
事故が青によるものだった確率＝0.12/(0.12+0.17)＝12/29(約=41%)
事故が黄によるものだった確率＝0.17/(0.12+0.17)＝17/29(約=59%)

となって実は黄タクシーだった可能性のほうが高いのです。
そもそもなんの手がかりもない場合は青：黄色＝１５：８５だったわけですから、たとえ確実性８０％の証言でも「青だった」との証言によってそれが４１：５９にまで青が増えた、と考えれば日常感覚とも合致するのではないでしょうか？
問題は「この弁護士の主張は正しいといえるか？」ですから
「正しいとはいえない」と答えればよいでしょう。

お礼

皆様、ありがとうございます。
この問題はいわゆるベイズの定理といわれるもので
解くのですね。

回答No.2

noname#12673

この問題だと、イエローキャブとブルーキャブの市場占有率は関係なくて、単純に目撃者が正しく車両を識別できたか否かという問題になりませんか？

正しく識別できた＝青（80％）
正しく識別できなかった＝黄色（20％）

もし、"正しく認識できた"の余事象が"どっちだか分からない"ということになると、0.2*0.15だけ青の可能性が上がると思いますけど・・・言葉をどう解釈するかですね。

まぁ、どちらにしろ誤判別の確率が２割弱もあれば、普通は絶対正しいとは言えませんけどね。
また、もし同じ信憑性の人がもう一人居て同じ証言をすれば、事故車が青である確率は1-0.2*0.2（1-２人とも誤る確率）で0.96だから、これは正しいと言ってもいいでしょう(目撃者の判断は互いに独立であることが条件ですが)。
やっぱり証言は数が大事ということでしょうか。

回答No.1

oshiete_goo

「絶対正しい」とは勿論言い切れません．

条件つき確率の問題で，

Blue(0.15)をBlueと認識(×0.8) ・・・（１）
Yellow(0.85)をBlueと認識(×0.2) ・・・（２）

(正しい確率)＝（１）／｛（１）＋（２）｝