数学の問題です。平均時速が分かりません。

質問

実際にテストに出題された数学の問題です。『行きは時速４０km、帰りは時速６０kmで走った時の平均の時速を求めなさい。』どう考えても、平均時速は５０kmだと思うのですが、解答は平均時速４８km。この数字がなぜ出て来るのか、分かる方、是非是非レクチャーして下さい。お願い致します。

回答No.6

Oxia · ベストアンサー

平均にはいろいろな種類があり、一般によく使うものが、「相加平均」というものです。二数a，bの相加平均なら、(a+b)/2というものです。
(40+60)/2=50
として求めた
「平均は時速５０km」
というのも、平均ではありますが、速度ではこの平均は使いません。
速度で平均というと、「調和平均」というものを使います。

二数a，bの調和平均というと、
2/{(1/a)+(1/b)}
という式であらわされます。
これは、簡単にすると、
2ab/(a+b)
ですが、こんな式を覚えても、覚えられるわけがありません。

この場合、「往復の距離」と「かかった時間」を考えます。
往復の距離は、どうおいてもらっても自由です。
片道を1(km)とでもおきましょう。
行きは時速40kmで走ったのですから、行きにかかった時間は1/40（時間）、帰りは時速60kmなので、1/60（時間）かかったことになります。

よって、往復にかかった時間は、(1/40)+(1/60)＝5/120（時間）ということになります。
片道1kmなので、往復で2kmです。
2kmを5/120時間かけて進んだのですから、ずっと同じ速さ（＝平均の速さ）で進んでいたと考えると、その速さは、
２÷(5/120)=48
となり、時速48kmということになります。

ちなみに、平均というと、もうひとつ代表的なものに、「相乗平均」があります。二数a，bの平均は、√(ab)であらわされます。

お礼

スッキリしました！御丁寧に有り難うございました。

回答No.8

arrysthmia

「平均時速」とは、
(速さの平均)＝(移動した道のり)÷(移動に要した時間)
を、時速の単位で表したものです。
問題の道のりが、片道 χ [km] だとすると、
平均時速は、
(χ + χ)÷(χ/40 + χ/60) = 2÷(1/40 + 1/60) = 48 [km/時]。

(速度の平均)＝(移動した距離)／(移動に要した時間)
は、同じ道を往復した場合には、０です。
出発点に戻ったのなら、結局、移動距離はゼロですから。

『どう考えても 50 [km/時]』というのは、(40 + 50) / 2 のことでしょう？
それは、「時速の(算術)平均」とでも言うかな？
「平均時速」とは、全く別物です。

お礼

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回答No.7

dghjty145

この問題の具体的な解き方は、他の方が既に投稿しているので、私は書きません。

そのかわり、一般的な考え方をアドバイスします。

この問題のポイントは、何でもうかつに（算術）平均をとらないで、中学生になったつもりで、問題を整理するということです。

みなさんの説明をご覧になって気づいたとおもいますが、結局、片道の距離は何キロでもよいのです。

つまり、この問題は以下のように、定式化されます。
行きがａkm/時、帰りがｂkm/時の時の平均時速は、　２／　（　１／ａ　　＋　１／ｂ　）　となります。

これを調和平均といいます。

それでは、以下の場合はどうなるでしょうか。　ある場所に、荷物を届けたが、忘れ物をしたので、一度もどって、また荷物を届けた場合です。　行きがａkm/時、帰りがｂkm/時、もう一度届けたときがｃkm/時だったとすると、その時の平均時速は、

３／　（　１／ａ　　＋　１／ｂ　＋　１／ｃ　）となります。

行きと帰りがいくつ増えても、いかのようになります。

　平均時速　＝　　走った片道の回数　／　（それぞれの時速の逆数の和）

これが調和平均です。

往復の平均時速と同様に間違いやすいのが、伸び率の平均です。

たとえば去年の売り上げが前々年より２０％伸びて、今年売上が去年より３０％伸びた場合、この２年間の売上の平均伸び率はいくらになりますでしょうか。

これも、単純な（算術）平均をとるのではなく、中学生になったつもりで問題を整理すると簡単に計算ができます。　答えは２４．９％です。
この場合の平均を幾何平均といいます。

調和平均や幾何平均は、必ず算術平均より小さくなります。

お礼

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回答No.5

happy2bhardcore

あなたの家から、目的地まで120Kmあるとします。

行きを40Km／時で走った場合、120Km÷40km／時＝3時間
帰りを60Km／時で走った場合、120Km÷60Km／時＝2時間
つまり、合計240Kmの距離を5時間かけて走ったことになります。

なので、1時間あたりの平均速度は（距離÷時間＝速さ）
240（Km）／5（時）＝48Km／時
になります。

お礼

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回答No.4

info22

平均時速v＝往復距離(2a)/行き帰りの時間(t1+t2)
です。
ここで
片道距離a
とすると
行きの所要時間t1=a/40
帰りの所要時間t2=a/60

v=2a/(t1+t2)=2a/{(a/40)+(a/60)}
=2*40*60/(40+60)=2*4*6=48 [km/h]

お礼

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回答No.3

sanori

こんばんは。

平均時速の定義を知らないと解けません。

「平均時速」とは、

平均時速　＝　進んだ距離の合計　÷　かかった時間の合計

というのがお約束です。

片道の距離をＬと置けば、

平均時速　＝　２Ｌ　÷　（Ｌ／４０　＋　Ｌ／６０）

以上、ご参考になりましたら。

お礼

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回答No.2

char2nd

移動した距離は同じで、速度のみが違うわけです。従って、往復するのにかかった時間を求めれば、平均の速度も計算できます。

　片道の距離をＬ、往路の移動時間をT1、復路の移動時間をT2とすると、

往路：T1＝Ｌ/40
復路：T2＝Ｌ/60

　平均速度Ｖは次のようになります。

　Ｖ＝２Ｌ/（T1＋T2）
　　＝２Ｌ/（Ｌ/40＋Ｌ/60）
　　＝48(km/h)

お礼

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回答No.1

中京区 桑原町（@l4330）

何時間走ったか考えましょう。

行きは40km/hで3時間走ったと仮定すれば距離は120km
120kmを60km/hで帰るなら2時間で済む。
合計、240kmを5時間で走ったのだから240/5=48km/h

40km/hで走ったのと同じ時間60km/hで走って帰ると家を通り過ぎますよ。

お礼

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