平均時速に関する問題

質問

テレビで放送していた問題なのですが、答えが分かってもどうも腑に落ちません
どなたか、分かりやすい説明が出来る方がいたら、お願いします

問題
行き帰りの平均の速さは何ｍか

行き　時速３００ｋｍ
帰り　時速２００ｋｍ

答えは２４０ｋｍなのですが、どうして２５０ｋｍにならないのか未だに疑問でなりません

どこの計算で－１０ｋｍが出てきたのか、２５０ｋｍにならない理由を計算式ではなく、解説していただけませんか？

回答No.23

gootaroh

No.7=No.15です。みたび失礼します。No.14=No.18様の、
>1回目A地点からC地点まで300km/h、2回目200km/hで走行しました。これらの平均速度は幾つでしょうと聞かれれば250km/hでしょう？
・という疑問は、確かにそのとおりです。No.17での新幹線の例と全く同じで、そういう質問文であれば(300+200)/2=250でよいでしょう。
ただ、No.17での私の結論は、変わりません。「行き帰りの」という部分で「トータルの」を類推できるからです。

No.19=No.20様の
>「平均速度」という表現には、なお引っかかるものを感じます。「総合速度」と言いたいところです。
・なるほど。正確には「調和平均速度」とでもいうべきなんでしょうね。この「総合速度」という表現で、No.14=No.18様の疑問も理解できました。
この手の質問文は、「咀嚼するとこういう意味ですよ」と理解して解くものだと思います。ただ、中学入試向けの塾での過去問解説ならばともかく、「教えて！goo」での「こだわりの質問」という意味では、それ以前に「平均」という言葉を吟味しなければ回答になりませんね。
私は「速さの平均＝調和平均」と当たり前のように覚えてしまっていますが、まずは「常識を疑え！」ですね（笑）。
私見では、こうしたいわば「総合速度」のようなものが「調和平均」といっていると思っています。

No.14=No.18様の、
>「一定の速度で走行したら」時速何kmで走行したのと同じことになるでしょう？
・要するに「調和平均速度は何km/hか？」という意味ですので、確かにこうした問いかけであれば、誤解がありません。確かに言葉足らずの質問文ですね。勉強になりました。

お礼

予想以上に回答数が多くて、私自身もどうしたらよいものかと思っていましたが・・・

体重や分数などの、例えでの回答が分かりやすかったです
平均時速と書いてあるだけで、移動に掛かる時間が書いてない事を計算すればよかったのだと・・・
移動にかかる時間（距離）を計算に入れるべきでした

皆さん、回答ありがとうございました

回答No.22

scaddi231

合成関数、それがヒントです。

ベクトルαを y = 300x
ベクトルβを y = 200x
とするとき、
合成して出来たベクトルθは果たして y = 250xかどうか
ということです。

実際考えると、
100 -99 と 2 -1 はともに1ですが、
y = 100x とy = 99xとの間に出来る角度と
y = x と y = 2x との間に出来る角度は
異なります。
つまり、グラフ上で傾きnとn+1の一次関数によって作られるそれぞれの角度と
数字は同様の変化を辿るわけではない、ということになります。

だから、
ベクトルθは、グラフ上でベクトルαとβの二等分線であっても、
それは数字で言う300と200の中間ではない、と言えるのです。

あとは、文字だけでいったん計算して、
最終出た答えを検討すれば自ずと・・・。

回答No.21

ht1914

＃１４です。
こんなに長く議論が続くとは思っていませんでした。
元はといえばこの質問を数学のカテゴリーに出したというところに問題があると思います。平均という言葉の意味が分散してしまいました。「平均」という言葉自体に明確な意味はありません。敢えていえば操作的なものです。意味はその量を扱う場面を決めないと決まりません。回答されている方はそれぞれが持っておられる平均の意味についてのイメージで発言されているので議論が収束しないのだと思います。
「平均の速さ」は運動を表す量の一つである速度についてのものですから物理の問題です。平均の意味は何かというのはそこである程度前提になっているのです。統計的な平均ではありません。

運動を記述する場合、位置も、速度も、加速度も力も時間の関数です。時間変化がなければ運動はありません。位置の時間変化から速度が、速度の時間変化から加速度が求められます。その加速度が力と結びつきます。速度とか加速度に対して「平均の速度」、「平均の加速度」という言葉を使うのは数学でいう「平均変化率」のことです。変数は「時間」です。変化量をその変化の起こった時間で割ります。時間の関数としての情報が不足している場合にも使いますが変化率が一定でないときにも使います。
「平均の力」という言葉も使います。
物体にある時間、ある大きさの力が働くと運動状態が変化します。でも働いている力が一定であるとは限りません。一定であると見なして「平均の力」を考えます。この場合も力の作用時間と力の作用量（力による運動状態の変化量）が変わらないものとして考えます。力を時間で積分した値は力積と呼ばれています。力積を作用時間で割ったものが「平均の力」です。力学の教科書には「力積＝平均の力×時間」と載っています。これは衝突を扱う場面で出てくる量です。

これらの量はすべて一つの物体に対して定義されうる量です。物体の集団に対して「平均」という言葉を使うときは別に場面が設定されます。気体分子運動論で分子の運動エネルギーと熱を結びつけるというような話では「平均の速さ」を分子集団に対して定義します。「平均の力」も集団に対して定義することができます。壁にかかる圧力を分子の衝突から出す場合にはそれが必要です。

「平均の速さ」も「平均の力」も場面を決めないと決まりません。時間平均と集団平均のどちらもありうるわけです。１つの物体の運動を考える場面で集団平均は出てきません。その時は時間平均です。

何回か測定を繰り返すという事象の集合に対しての統計処理も普通は出てきません。それは力学の問題ではありません。それも場面から分かります。

分子集団の運動のような統計的な記述の入ってくる力学は統計力学と呼ばれている分野です。そこでは集団平均と時間平均の両方が出てきます。必ずどちらであるかの断りが入っています。「時間平均は集団平均に等しい」というような表現が出てくることもありますから「平均」の意味が曖昧なままでは混乱します。

物理の授業の中でこの問題を出すのは分散している「平均」の意味を物理の場面の中に引き込むためのものだと言ってもいいかもしれません。数字の操作としての平均には意味がない、量が問題なのだということを意識してもらいたいという意味合いもあるでしょう。

ＴＶでクイズネタとして出されるとそれっきりです。「物理は常識と違う」という印象しか与えなくなる可能性もありますね。

回答No.20

Ishiwara

＃１９です。
私の説には反対意見が出そうなので、あらかじめ、少し加筆しておきます。
「平均速度」なるものを定義してしまえば、問題は解決してしまうと思います。つまり「平均速度とは、距離の合計を時間の合計で割ったものである」と定義すれば、２４０が正しいことは容易に明らかです。どなたか、この定義のほうからチェックしてください。この定義が成立しているのであれば、＃１９の大部分は、ご参考程度ということになってしまうのですが。
「平均速度」という表現には、なお引っかかるものを感じます。「総合速度」と言いたいところです。
一般にＡ÷Ｂ＝Ｃという定義があるとき、常にＡ合計÷Ｂ合計＝Ｃ平均という定義が自動成立するとも思えません。例えばオームの法則とか‥‥。

回答No.19

Ishiwara

皆さまの意見を読んでいるうちに「これは単純な問題ではない、出題に不備がある」ということに気がつきました。出題は「時間について重みづけをする」という条件をつけるべきでした。良く考えると、どんな平均も実は「重みづけ平均」なのです。

時間について重みづけをすると２４０ですが、距離について重みづけをすると２５０になります。出題に指定がなければ「どちらも正解」です。「時間が一様に流れているのだから、時間で重みづけをするのが当然」と考えるのは独断です。「距離が一様に流れている」という見方にも同等の価値があります。

２種類の金属Ａ・Ｂを混ぜて合金を作り、ここに混合比も総重量も異なる２つの塊があるとします。このときＡの割合の平均値はどうなるのでしょうか。少なくとも３とおりの計算法があります。(1)重量比、(2)体積比、(3)原子数比です。ですから、技術文献では、よくwt％(重量％)のように書きます。これは「重量で重みづけをした平均」であることを示したものです。

トランプ52枚を２つに分けて、左と右のポケットに入れ、どちらかから1枚取り出します。大勢の人に１回ずつやってもらいます。平均して赤のカードを何％引きますか？ ５０％と思うでしょう。それは必ずしも正しくありません。

もし左に赤を1枚、右に残りの51枚を入れたら、赤が約75％になりますよ。これは、ポケットが不透明なために「ポケットという単位で重みづけ」をせざるを得ないからです。

このように、自明である場合を除けば「重みづけを指定しない平均は、意味をなさない」ことになります。あのテレビの問題は「小学校レベル」のものですから「時間による重みづけが自明」という主張も一理ありますが、問題を含んでいることは確かです。

回答No.18

tenntennsevengoo

NO.17
さんの仰る事はごもっともだと思いますが
”平均速度は”という問題は多少違和感を感じますね。
平均速度という言葉の定義を知らないのでわかりませんが
”A地点からB地点まで時速３００ｋｍ
B地点からC地点まで時速２００ｋｍ速度で走行しました。
一定の速度で走行したら時速何ｋｍで走行したのと同じ
ことになるでしょう。”
というのなら納得のいく回答だと思いますが。
平均速度と言われれば
１回目A地点からC地点まで時速３００ｋｍ
2回目時速２００ｋｍで走行しました。
これらの平均速度は幾つでしょうと聞かれれば時速２５０ｋｍでしょう？

回答No.17

gootaroh

No.7です。再び失礼します。No.15様のご回答についてですが、
>時速３００ｋｍ，時速２００ｋｍの平均速度はと聞かれれば時速２５０ｋｍであたっていると思います。
・これは、距離の指定がない場合ですよね。例えば、「新幹線の試験走行を2回実施したら、1回目は300km/h、2回目は200km/hであった。2回の試験走行の平均速度は250km/hである」のような場合です。

でも、ご質問文には距離の指定があります。つまり「行き帰りの～」という部分です。具体的なキロ数は書いてはいませんが、片道Aキロだとすると、往復では倍の2Aキロです。距離が指定されている以上、「全距離÷全時間」が平均速度であり、240km/hが正しく、特段問題の出し方がおかしいとは思いません。

回答No.16

Ishiwara

一番短い回答をしましょう。
１／４と１／６の平均は1／５ですか？
この錯覚を狙った出題だったのですよ。

回答No.15

tenntennsevengoo

多分その問題の出し方がおかしいと思いますよ。
一定速度で出発地点から折り返してまた出発地点まで戻る場合
行き帰りの速度が
行き３００ｋｍ
帰り２００ｋｍ
で進んだ場合と同じ時間かかったとするならば一定速度は幾つでしょう？
という問題なら
２４０km
だと思いますが
時速３００ｋｍ，時速２００ｋｍの平均速度は
と聞かれれば時速２５０ｋｍで
あたっていると思います。

回答No.14

ht1914

相加平均とか相乗平均、調和平均、いろいろ言葉が出ています。
でもこういう言葉はあまり意味のないことだと思います。結果として得られた平均の表現に対して相加平均であるとか調和平均であるとかの名前が付きます。なぜこの場合は相加平均でないのかとか調和平均でなければいけないのかなどには答えていないわけです。

平均という言葉は何かある目的を表すための数字だとおもいます。

速度の場合で考えます。ある距離離れた場所にある時間で行く行き方は一通りではありません。いろいろあります。でも同じ時間に同じ距離移動したのであれば移動の効率ということからすれば同等です。その基準になる量がはなんでしょうか。同じ距離を同じ時間で一定の速さで行ったとしたらいくらの速さに相当するかを示す量です。これが平均の速さです。平均自体に意味があるのではありません。一定の速さで行くとしたらいくらに相当するかを考えて運動の比較の基準としたわけです。距離と時間を固定しなければ比較が出来ません。途中の運動に対する情報が不足している場合はこの量で運動を表すことになります。

車で旅行に行くときも同じです。目的地に移動するという目的が設定されていますので時間が問題です。途中いくら速く走っても信号等での停車時間が長ければ移動の効率は悪いことになります。最高速度は時速１００ｋｍ出しているのに平均の速度でいうと時速２０ｋｍにしかならないというのは移動の効率が前提になっているからです。時間の重み付きの平均という考え方が出てきます。

時間の重み付きの平均は（ｔ１ｖ１＋ｔ２ｖ２）／（ｔ１＋ｔ２）です。これは表現から言った内容です。これだけではなぜ時間の重みを考えるのかには答えていないわけです。全く別の量ですが質量の重み付きの平均もあります。式だけで考えていると高校生には選択の基準がないことになります。

平均点などの場合は「一人当たりいくら」とか「ならす」とかの言葉が使われます。総得点が変わらないようにして均等に分配し直すというのも分かりやすいです。
速度の場合は「時間に対してならす」になります。これは中学、高校生にはわかりにくいです。その場合には「同じ距離のところを同じ時間で、速さを変えないようにしていったら」という表現の方が意味がはっきりすると思います。これによって運動を比較することになります。この後で「こういう量を平均の速さと呼んでいる。平均点と同じ出し方だ。」と言えばいいです。はじめから「平均の速さは・・・」と言ってしまうと分からなくなってしまいます。各人の持っている「平均」のイメージにそのまま上乗せすることになりますから何時までもしっくりいかないということになります。

補足
質量の重み付きの平均速度は（ｍ１ｖ１＋ｍ２ｖ２）／（ｍ１＋ｍ２）です。表現は平均の形になっています。これは重心速度と呼ばれているものです。表現を形式的にだけ見ていると訳が分からなくなります。