等比数列の和の問題

質問

を解きました。計算過程に誤りがないか見て頂きたいです。
8
Σ(2^(k+1)-2^k)
k=0
わかりづらいとは思いますが、シグマの右は２のk+1乗から２のk乗を引いたものです。
以下、当方の計算過程。。

8
Σ(2^(k+1))-
k=0
8
Σ2^k
k=0

9
Σ2^k-
k=0
0
Σ2^k-
k=0
8
Σ2^k
k=0
((1*2^10)-1)/2-1 - 1 - ((1*2^9)-1)/2-1
=(1024-1) - 1 - (512-1)
=1023-1-511
=511

2^k+1の処理の方法がわからなかったのですが、紙に書いてみると要は2^9から2^0を引いたものと同様のような気がしたので上のように解きました。

回答No.1

agthree · ベストアンサー

式展開の下から4行目の
((1*2^10)-1)/2-1 - 1 - ((1*2^9)-1)/2-1
の部分の"/2"がそれぞれ余計かと思いますが、それ以降の式展開では"/2"が抜けていて答えも合っていますので、下から4行目だけ記述ミスされたのでしょうか。記述ミスであればこれでよいと思います。
なお、
9
Σ2^k
k=0
を
2^9+
8
Σ2^k
k=0
としてしまえば、
8
Σ2^k
k=0
が消えて
2^9-2^0=512-511=511
となり、Σの計算をしなくて済むのでスマートになります。

お礼

記述ミスをしておりました。すみません。
正しくは、公式(ar^(n+1)-a)/(r-1)より、
×　((1*2^10)-1)/2-1
○　((1*2^10)-1)/(2-1)
でした。
あと、なるほどスマートな計算。。思いつきませんでした。
有り難うございました。