高等学校数学の二次関数について

質問

こんばんは。

二次関数についてで質問があります。
ある一つの問題なのですが、文の一部に分からない表現がありました。
下に記します。

：放物線 y=x^2＋ax＋a を原点に関して対称移動し、（中略）
定数a,bの値を求めよ。

この問題の中に、放物線～を原点に関して対称移動し
とありますが、これはどういうことでしょうか？
解説文によると、

・放物線 y=f(x) を原点に関して対称移動すると、 －y=f(－x)
よって、y=x^2＋ax＋a　は y=－(x^2)＋ax－a に移る。

とのことですが、何故このような結果になるのでしょうか？
また、原点に関して対称移動とはどういうことなのでしょうか？
解説をお願い致します。

回答No.1

debut · ベストアンサー

原点対称とは、原点を中心に180°回転させることです。
図をかいてみればすぐにわかりますが、例えば点(5,-2)を
原点を中心に180°回転すれば(-5,2)にうつります。
つまり、点(a,b)は点(-a,-b)にうつります。

よって、y=f(x)の点(x,y)は(-x,-y)にうつるわけなので
移動後の式が-y=f(-x)となります。

y=ax^2+ax+aを原点に対称移動するなら、
xを-xに、yを-yにかえて
-y=a*(-x)^2+a*(-x)+a
-y=ax^2-ax+a
y=-ax^2+ax-a
と移動後の式が求められます。

お礼

ありがとうございます。

またまた回答してくださって、本当に感謝しております。

回答No.3

zyunyu

原点に対して対称とはいわゆる点対称ということです。
点対称とは点を支点に１８０度回転させた図形が同じ形状になる関係を言います。
原点に対して対称とは要するに、第１象限第４象限にまたがる2次関数が有ったとしたらそれとちょうど逆に凸でＸ軸との交点も符号をマイナスにしただけみたいな関数が点対称の関係となります。
もっとわかりやすくいうなら、グラフを正面からみた場合と180度ひっくり返してみたグラフが全く同じ形で、象限による符号の違いのみの場合を点対称といいます。なんとなくわかったかな？

そうすると、当然原点に関して対象移動したグラフはＹ軸成分，Ｘ軸成分は符号が逆になり、2時関数を平方完成してＸの頂点を表す項は符号が逆、さらにグラフの上下の凸を表す部分も符号が逆になり、こんな符号の関係になるということです。わからんかったらとりあえずどちらも平方完成してみれば明らかです。必ずすべての符号が逆の関係になるはず。

お礼

はい。分かりました。

詳しく答えてくださってありがとうございました。

回答No.2

info22

> 原点に関して対称移動とはどういうことなのでしょうか？
点(x,y)の、原点に対して対称点の座標は、グラフ用紙に描けば点(-x,-y)になりますね。
グラフは点の集合体ですね。
点(x,y)があるグラフ上の点であるとき(x,y)の代わりに(-x,-y)で置き換えたら点が原点対称の位置の点に移動しますね。その移動した点(-x,-y)の集合体のグラフはどうなるか考えて見てください。
移動後のすべての点は、移動前の点の集合体でグラフに対して、(-x,-y)を代入した点の集合体は原点対称のグラフを構成することが分かりませんか？
グラフといえども、一点一点の点の集まりです。そのことを良く考えてみてください。

お礼

なるほど、よく分かりました。

ありがとうございました。