四面体の６つ目の辺に関する不等式
- 四面体の５つの辺が分かっているとき、６つ目の辺に関する不等式について知りたいです。
- 三角不等式によると、２つの辺の長さが分かっている場合、３つ目の辺の長さは一定の範囲内にあることが分かります。
- しかし、四面体の場合、６つ目の辺の最大値と最小値を具体的に求めるのは難しいです。面積に関するヘロンの公式が役に立つかもしれません。
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四面体の5つの辺が分かっているとき、6つ目の辺に関する不等式
三角形において、 「２つの辺の長さa,bが分かっているとき、３つ目の辺の長さxは、 |a-b|<x<a+b」 という三角不等式が成り立ちます。 つぎに、四面体の５つの辺が分かっているとします。 まず、一つの三角形があり、辺の長さをそれぞれa,b,cとします。 辺の長さaを共有するもう一つの三角形があり、辺の長さをそれぞれa,p,qとします。 いまの状態をパネルでイメージすると、２つの三角形のパネルが一辺を共有してブラブラしている状態です。 ６つ目の辺をxとすると、xの最大値と最小値は具体的にどのように書き表せるのでしょうか? 最大値と最小値の状態をイメージして、面積に関するヘロンの公式が使えそうだとは思うのですが、xの具体的な評価が書きあらわしにくくて悩んでいます。
- katadanaoki
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２つの三角形のパネルのa上にない２つの頂点が同一平面内のaを挟んで反対側にあるとき最も距離が離れますのでその時の頂点間の距離をd2とし、同様に２つの頂点をaを挟んで同じ同一平面内にあるときの兆点間の距離をd1とすれば、 d1<x<d2…(1) という不等式が成り立ちます。 そのdを求めてやれば(1)が答になります。 a,b,c,p,qだけでdをあらわすと非常に複雑な式になります。 2つの共通辺上にない頂点からaに下した垂線の長さh1,h2と垂線の足の距離kを使えば d2=√{(h1+h2)^2 +k^2}…(2) d1=√{(h1-h2)^2 +k^2}…(3) となりますね。 h1,h2,kを余弦第１定理、第2定理を使ってa,b,c,p,qで表せますが、(2),(3)に代入するとd1,d2の式は相当複雑な式になりますので、間にh1,h2,kを介在させた公式として評価すればすっきりまとまるかも知れませんね。
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