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二次不等式 あってますか?
kumipapaの回答
- kumipapa
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#2 さんがおっしゃるように 0 < b < (1±√2) a は問題で、意味が不明です。b は (1+√2)a よりちいさく、かつ?または? (1 - √2) a より小さい?なんにしろ、間違っていますね。 (a + b)^2 - 2b^2 > 0 a^2 + 2ab + b^2 - 2b^2 > 0 b^2 - 2ab - a^2 < 0 (b - (1+√2)a ) ( b - (1 - √2)a ) < 0 ・・・ (1) ここで、 (b - α) (b - β) < 0 の解は、α≦β とすると α < b < β です。 (1) の場合も(1+√2)a と (1-√2)a の大小関係を調べる必要がありますが、これを (1-√2)a < (1+√2)a とただちに判断してはいけません。 a の符号によって大小関係が変わることに注意しましょう。 a > 0 のとき (1 + √2)a > 0, (1 - √2)a < 0 より (1) の解は (1 - √2) a < b < (1 + √2) a ですが b > 0 という条件より、 0 < b < (1 + √2) a a = 0 のとき (1) の解は 0 < b < 0となり、解なし(不等式そのものが b^2 < 0 となってしまい解なし)。 a < 0 のとき (1 + √2)a < 0, (1 - √2)a > 0 より (1) の解は (1 + √2) a < b < (1 - √2) a ですが b > 0 という条件より、 0 < b < (1 - √2) a 以上より、 a > 0 のとき、0 < b < (1 + √2) a a = 0 のとき、適する b は存在しない a < 0 のとき、0 < b < (1 - √2) a (1) というのは、もともとが (b - (a +√(2a^2))) (b - (a -√(2a^2))) < 0 (b - (a + |a|√2)) (b - (a - |a|√2)) < 0 です。こう書きますと、a の正負に関わらず a - |a|√2 < a + |a|√2 ですから、不等式の解は、 a - |a|√2 < b < a + |a|√2 となります。その上で a > 0 のとき |a| = a より a - a√2 < b < a + a √2 → (1 - √2) a < b < (1 + √2) a a = 0 のとき解なし a < 0 のとき |a| = -a より a + a √2 < b < a - a √2 → (1 + √2)a < b < (1 - √2) a と考えてもよいと思います。これに、b>0 という条件を付加して、 a > 0 のとき 0 < b < (1 + √2) a a < 0 のとき 0 < b < (1 - √2) a です。
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