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二次不等式の問題です

娘に質問されて困っています。 「xについての二次不等式x^2-2ax+2a^2+2a-1<0が解を持つようなaの範囲を求めなさい」 この解答と分かりやすい解説をどなたかいただけないでしょうか、よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • info22_
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回答No.2

解法1 y=左辺の平方を完成して y=(x-a)^2+a^2+2a-1 となります。 このグラフは x^2の係数が1で正なので 下に凸の放物線となり 対称軸の所(x=a)で最小値をとります。 この最小値が負であれば不等式が解をもつから a^2+2a-1<0 であれば良い。これからaの範囲を求めればよい。 (a+1)^2<2 -√2<a+1<√2 ∴ -1-√2<a<-1+√2 解法2 左辺=0のxの二次方程式が異なる2個の実数解を持つようなaの条件をもとめればよい。 判別式D/4=a^2-(2a^2+2a-1)=2-(a^2+2a+1)=2-(a+1)^2>0 より (a+1)^2-2<0 (a+1+√2)(a+1-√2)<0 これを解いて -1-√2<a<-1+√2 ...(答え)

major7th
質問者

お礼

解法を2ついただいたのでベストアンサーとさせて頂きます。 ありがとうございました。

その他の回答 (2)

  • bgm38489
  • ベストアンサー率29% (633/2168)
回答No.3

簡単に解き方を言えば、この不等式が解をもつには、y=左辺のグラフは下向きであるので、y<0のところ、すなわちx座標より下に出てなければいけないということです。ということは、x座標と二つの点で交わる。左辺=0とした方程式が、二つの異なる解を持つ。すなわち、判別式>0。解答は他の回答者にお任せするが、流れはこんなとこ。

major7th
質問者

お礼

ありがとうございました。

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2126/6286)
回答No.1

解というのは実数解のことでしょうか。だとすると、 左辺の判別式 > 0となるようなaの範囲を求めればよいことになります。 判別式D/4 = a^2 - (2a^2 + 2a - 1) = -a^2 - 2a + 1 > 0 a^2 + 2a - 1 < 0 この、aに関する2次不等式の左辺 = 0とおいて得る2次方程式の解を求める。 a^2 + 2a - 1 = 0 a = -1 ± √(1 + 1) = -1 ± √2 ∴-1 - √2 < a < -1 + √2

major7th
質問者

お礼

判別式を応用するのですね。 ありがとうございました。

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