ばね

質問

弾性エネルギーの問題を解く時に思ったのですが、
一般的にばねの伸びが正で縮みが負と定める必要はありませんよね（ばねは伸びても縮んでもその長さを見るだけでいいですよね）？？

回答No.3

yokkun831

伸びか縮みかどちらかを正にとり，他方を負にとるわけは
単に座標の設定にあります。ですから運動方程式を立てて
それを解くなど，振動の変位や速度，力を表すときに正負で
方向の違いを表現できることになるのですね。たとえば弾性力を
-kxと負号をつけて書くことにより変位x（伸びであろうと縮み
であろうと）の逆方向であることがわかります。

　一方，エネルギーだけで事がすむ問題では，正負を気にする
必要はありません。もちろん，上の必要から考慮して持ち込んでも
いいのですが，２乗されて正負の違いがなくなってしまいますね。
力学的エネルギー保存の法則は，運動方程式を座標で積分して
得られるのですが，積分の過程でベクトルの方向という情報が
失われてしまうのです。例えばある瞬間の速さを求めることが
できますが，その方向はでてきませんよね。

　もう少し数学的に正確にいうと，ベクトルの内積（例えば仕事
は力と変位の内積。保存力がする仕事を考えると位置エネルギー
の変化分に一致しますね）をとって積分するから方向の情報が
ふっとんでしまうのです。
　運動方程式はベクトル方程式（最高３つの式をまとめたもの），
力学的エネルギー保存の法則はスカラー方程式であるといえます。
弾性エネルギーと運動エネルギーが交換する場合の関係を参考に
記します。難しかったら読み捨ててください。
　運動方程式　m a = -k x （加速度a=dv/dtがxと逆向き）
dxと内積をとって積分すると，
　　　　m ∫dv/dt・dx = -k ∫x・dx （x,dx,dv/dtすべてベクトル）
　　　　m ∫v・dv = -k ∫x・dx　（v=dx/dtを用いた）
積分を実行して移項すると，力学的エネルギー保存
　　　　1/2 mv^2 + 1/2 kx^2 = 一定
が出てきます。中段の「・」は内積なのです。

回答No.2

my3027

弾性エネルギであれば構いませんよ。
kx^2/2なので、2乗するので関係ありません。圧縮されても伸びでもエネルギを持っていますから。

回答No.1

sanori

こんにちは。

＞＞＞ばねは伸びても縮んでもその長さを見るだけでいいですよね

それは、絶対値を見るだけでよい、という意味でしょうか？
だとすれば、まずいです。

伸びる方向を正とすれば、
座標系も、伸びる方向を正とする必要があり、
縮みは、マイナスの伸びとして扱います。

伸びる方向を負とすれば、その逆になります。

なお、
弾性エネルギーは、ばねの伸びやおもりの位置が正であるか負であるかに関係しません。
どちらで計算しても、エネルギーは同じになります。