解き方教えてくださいm(__)m

質問

またまた数学の質問をさせていただきます。

x^3-x^2-4=0

を解くと、答えが

(x-2)(x^2+x+2)=0

となる。

と書いてありました。

なぜこのようになるのでしょうか…

昔、学校で解き方を習った気がしなくもないのですが…数学から遠ざかって数年経ちますので忘れてしまいました(^^;)(;^^)

自分なりにx^3-(x-2)^2=0と式を変形してみたのですが、そもそもこの変形は意味あるんですか？(((・・;)

どうすればいいのかわからなくなってしまったので、やり方を教えていただけると嬉しいです。

回答No.1

nozomilv · ベストアンサー

こんにちは

x^3-x^2-4=0の解説の前に

x^2+4x+3=0が(x+1)(x+3)=0になるのはよいでしょうか？
これをさらに解くと(x+1)と(x+3)をかけると０になる
つまりx+1=0またはx+3=0となり、x=-1またはx=-3となります。

これは何を意味するかと言うとx=-1をx^2+4x+3=0に代入すると
(-1)^2＋4×(-1)＋3＝1-4＋3＝0となります。
つまり、x=-1は元の式x^2+4x+3=0を満たすことになります。
このときx^2+4x+3=0は(x+1)を因数分解したときにもつことになります。

ここでx^3-x^2-4=0を考えたとき
x=2を考えてみると　2^3-2^2-4=8-4-4＝0となるので
つまり(x-2)と何かを掛け合わせたものになるはずです。
x^3-x^2-4=(x-2)(何か)となるはずです。

あとはx^3-x^2-4を(x-2)で割ると
　　　　　＿1＿1＿2＿＿＿
１　-2　｜　1　-1　0　-4
　　　　-）１　-2
　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　　1　0　　　
　　　　-)　　　1　-2
　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　　　　2　-4
　　　　-)　　　　　2　-4
　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　　　　　　0
つまり　x^2＋x+2が商になるので
　(x-2)(x^2+x+2)となります。

例えば１５は　３で割れると分かると
　　　15÷3＝５となります。
　　　なので15＝3×5となります。

　これと同じでx^3-x^2-4が(x-2)で割れるので
　(x^3-x^2-4）÷(x-2)をすると商がx^2＋x+2なので
(x^3-x^2-4）=(x-2)(x^2＋x+2)となります。

最初に何を代入したら0になるかを探すしかありませんが
ヒントとしては最後の数字を見てやります。
ここでは　x^3-x^2-4　の-4の部分を注目して
-4の約数を考えて見ます　つまり、１、２、４、-1、-2、-4のいずれかが候補となります。それでダメなら因数分解できないことになります。

理屈的にはこんな感じです。
文章だけではいまいち伝えにくいかもしれません。
ご不明な点は再度質問いただければお答えさせていただきます。

お礼

すごく丁寧にわかりやすく解説していただき、ありがとうございます！

x^2+4x+3=0が(x+1)(x+3)=0となるのはわかるので、そこから解説につなげていってくださり、わかりやすかったてです。

そして、x^3-x^2-4を(x-2)で割る方法(筆算？)のやり方まで書いていただき、非常にすっきりしました！

なんか高校で習ったよな～と思っていたのは、この筆算のやり方だった気がします。

ありがとうございました！

回答No.2

nious

因数定理から、定数項の-4の約数、±1、±2、±4を代入して
式の値が0になる数αがあれば、x-αで割りましょう。