辺の最小値

質問

辺の長さが１、１、√２の直角三角形があります。
一本の線分でこの三角形の面積を２等分する時の
線分の最小値を求めなさい。と言う問題があるのですが

これ４つの場合に分けないといけないと思うのですが
１、直角を通るとき
２、４５度を通るとき
３、等しい２辺を通るとき
４、長さの異なる２辺を通るとき

１～３まではそれぞれ
√５／２、√２／２、１と求められたのであとは４番なのですが
（√２－１）の二重根号になってしまいます。これってはずせるのでしょうか？
０．４１４のルートですからおよそ０．６～０．７になってしまい１～３で
最小の√２／２より小さいのでこれをほおって置くわけにもいかないのです。

多分間違っていると思うので４の解法を教えてください

回答No.4

mmky · ベストアンサー

mmkyさんです。検証してみましょうか。

直角三角形で各辺の比が1：1：√２ですね。面積を二等分する最短の長さですか。直角三角形ですからはさまれた角度は、９０度と４５度の二つを考えればいいですね。
（Ａ）まず４５度のほうからいきましょうか。
二辺の頂点からの長さをｘ,yとする三角形の対辺の長さCは、余弦定理により
c=√(x＾2+y＾2-2xy*cosθ)
cosθ=cos45°=1/√2, で、cが最小になるための条件は、x=y の時、
c=√(2x＾2-2x＾2*cos45°)　・・・・（１）
この二等辺三角形の面積Sxは、
Sx=（1/2）(x)(xsin45°)=(1/2)(x)(x/√2)=x＾2/2√2
2Sx=1/2（題意により）だからSx=1/4 =x＾2/2√2
これから x＾2=√2/2=1/√2
(1）式に代入して
ｃ=√｛1-（1/√2）)=√((√2-1)/√2）)=0.541196
角度４５度での面積半分の線分の最短長は、0.541196*（短い辺の長さ）

角度４５度の場合は、ｘ=√2/2, y=1 の場合もあって、そのときは
c=√(x＾2+y＾2-2xy*cos45°)=√((1/2)+1-2(√2/2)(1/√2))
=√((1/2)=1/√2=√2/2=0.707106 ですね。

（Ｂ）９０度のほうから算出した場合。
c=√(2x＾2-2x＾2*cos90°)=√(2x＾2) ・・（2）
この二等辺三角形の面積Sxは、
Sx=（1/2）(x)(xsin90°)=(1/2)(x)(x)=x＾2/2
2Sx=1/2（題意により）だからSx=1/4 =x＾2/2
これから x＾2=1/2
(2）式に代入して
ｃ=√(1）=1
角度９０度での面積半分の線分の最短長は、1.0*（短い辺の長さ）

ということで、面積の半分の最短の線分は、（x＾2*sin45°/2)が（1/4）
になるときということですね。sin45°=1/√2 ということでx＾2=1/√2
二辺が√(1/√2)で頂角が４５度の二等辺三角形ですね。その底辺の長さが
最短線分長ですね。

数字は確認してみてください。
参考まで

回答No.3

yacob

ご質問の事から離れますが、基本的なことで申し上げます。１と２は判りましたが、しかし、３と４について、線分の通らない残りの辺に平行な線分で面積を二等分するとは限りません。従って、３、４に関しては、無数の２等分線が存在して、お答えのように長さが定まるものではありません。
従ってこの問題の解き方は次のように考えてください。
ご存じのように、三角形の面積の二等分線は、必ず三角形の重心を通ります。重心を通り２辺(あるいは、1頂点と１辺)と交わるまでの線分の長さが、最小になる為には、２辺の頂点(あるいは、残りの頂点の１つ)から、その線分におろした垂線の長さが最大になると言うことです。(線分長X垂線長÷2=最初の三角形の面積の半分=一定　ですから)
また、線分への垂線は、線分の傾きにより垂線の足が重心からずれるに従って短くなりますから、頂点と重心との距離がこれらの垂線の内の最大長であります。問題の線分は重心を通り、その頂点から重心への直線、つまり、中線に直交しているわけです。　重心と頂点の距離は、その重心を通る中線の長さの２／３です。これによって、計算すれば、線分の最小長さがでてきます。(頂点から重心への距離は２つあります。長い方を採用しないといけません。)
以上申し上げたこと、多分、間違っていないとは思いますが、ご検討の上、計算してみてください。

回答No.2

eatern27

#1です。
二重根号がはずせるのか?という質問に答えていませんでしたね。(こっちが重要?)

多分はずせません。
√(√２－１）という答えでいいと思います。

回答No.1

eatern27

√(√２－１）であっていると思います。

{√(√２-１)}^２と(√２/２)^２を比べて
√２-１≒０，４１４であるから
√２-１＜１/２
∴√(√２-１)＜√２/２