当選確率は変化しますか？

質問

ある書籍を読んでいて、分からなくなったことがあります。

簡単に言うと、3つの選択肢があり、当たりは1つだけ。
最初に回答者がいずれか1つを暫定的に選択。
次に出題者が回答者に対し、残り2つのうちはずれの方を開示。
この段階で、回答者は選択肢を変更することができるのです。

この場合、回答者は選択肢を変更する方が当選確率は上がるのか、変更しなくても当選確率は同じなのか、どちらなのでしょう？

回答No.4

Quattro99 · ベストアンサー

> はずれを開示した段階で、当選確率が最初の1/3から1/2へアップしているのは分かります。
アップしません。1/3のままです。
最初に選んだ時点で（説明しやすくするため、選んだ選択肢をA、選ばなかった選択肢をB、Cとします）、選ばなかった2つのうちどちらかに当たりがある確率は2/3（B、Cそれぞれ1/3）。
はずれが開示されたときに変化するのはBとCです。Bが開示された場合、Bが当たりである確率が0になり、Cが当たりである確率が2/3になります。Aは1/3のままです。

選ばなかった選択肢に当たりがあった場合は、どちらが当たりなのか教えてもらえるというのと同じことです。

1万枚のくじから1枚引いて、残りから9,998枚はずれを除外してもらう場合を考えると、2回に1回は最初に引いたくじが当たりになるというのはどう考えても変だと直感的にもわかると思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。暫定的な選択の時点で、「選ばなかったＢとＣの当選確率は合わせて2/3」というところまでは分かるのですが、
>Bが開示された場合、Bが当たりである確率が0になり、Cが当たりである確率が2/3になります。
・これで納得しました。私は、最初はA→1/3、B→1/3、C→1/3で、Bを開示後はA→1/3、B→0、C→1/3なので、AとCは対等ではないの？と思っていました。
要するに、最初は(1/3)+(1/3)=2/3だったものが、0+(2/3)=2/3になったわけで、BC合わせて2/3というのは変化なし、という意味ですね。なるほど。BCをひとくくりにして最後まで考える、というのがポイントですね。

>1万枚のくじから1枚引いて、残りから9,998枚はずれを除外してもらう場合を考えると、2回に1回は最初に引いたくじが当たりになるというのはどう考えても変だと直感的にもわかると思います。
・はい。とってもよく分かります。思いっきり極端に考えれば、分かりやすくなりますね。

回答No.6

arrysthmia

簡単に言い過ぎです。
その説明では、「残り2つのうちはずれの方」が2つある場合、
つまり、回答者の最初の選択が当たっていた場合に、
出題者がどちらの選択肢を開示するのか指定してありません。

もとのモンティーホール問題は、その場合、
出題者は2つのはずれを1/2づつの確率でランダムに開示する
と指定してあったはずです。
これが決めてあれば、皆さんが回答されている通りです。

この部分を問題のほうで決めておらず、考える人が勝手に
「わからないから確率1/2と仮定する」とやってしまうのは、
「宝くじを１枚買ったが、当たりかはずれの2つに1つだから
確率1/2で当たると仮定する」のと同じくらい無意味なことです。

補足

ご回答ありがとうございました。あれからWikiも読んでみましたが、No.6様のご回答のとおり、「出題者は2つのはずれを1/2づつの確率でランダムに開示する」というルールもあり、例えばコイントスなどの方法も記載されていました。そこで新たな疑問が浮かんだのですが、実際にコイントスしたかどうかは回答者には知らされないのでしょうね？回答者からすれば、出題者がコイントスしていることが分かるということは、同時に第1選択時が「当たり」ということが分かってしまいますから。

回答No.5

reviera

簡単な理解の仕方があります。開示後選択肢を変更すると、「最初からB,C２つとも選ばせてもらったのと同じ」になります。

よって当選確率は２/３にあがります。Aだけをかたくなに守れば１/３のままです。

お礼

ご回答ありがとうございました。なるほど、結果論で理解するのもいいですね。

回答No.3

maxmixmax

モンティホールのジレンマ…でしたっけ。
答えから言うと、変更する方が当選確率は当たります。

・選択肢をＡ，Ｂ，Ｃとした場合、それぞれの当選確率は1/3ですね。

・仮に回答者がＡを選んだ場合、Ａが当たっている確率は1/3で、残りのＢＣが当たっている確率は2/3です。

・そこで出題者がＢＣのうち、「当たりではない選択肢」を１つ取り除きます。
　仮にそれがＢだった場合、ＢＣの当選確率は2/3で、確実に当たりではないＢを取り除いたため、Ｃだけでも当選確率は2/3のままです。

・すると、Ａの当選確率は1/3、Ｃの当選確率は2/3になるわけですから、回答者はＣに選び直した方が当選確率は上がる事になります。

補足

ご回答ありがとうございました。そうです。モンティ・ホール・ジレンマです。
>仮に回答者がＡを選んだ場合、Ａが当たっている確率は1/3で、残りのＢＣが当たっている確率は2/3です。
・これはよく分かります。納得できます。
>そこで出題者がＢＣのうち、「当たりではない選択肢」を１つ取り除きます。仮にそれがＢだった場合、ＢＣの当選確率は2/3で、確実に当たりではないＢを取り除いたため、Ｃだけでも当選確率は2/3のままです。
・う～ん、ここでつまづいてしまうのです（笑）。どうして「Ｃだけでも当選確率は2/3のまま」なのかが、どうしても納得できないのです。

回答No.2

keirimas

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C

モンティホール問題といい、
選択を変更したほうが当選確率は上がるのだそうです。

補足

ご回答ありがとうございました。そうです。モンティホール問題です。これ、納得いかないんですよね。参考ＵＲＬも見ましたが、どうもよく分からないのです。疑問のメインは、どうして出題者がはずれを開示しても当選確率が変わらないのか、という部分です。

回答No.1

neKo_deux

> 最初に回答者がいずれか1つを暫定的に選択。

この際に、中身は見ないんですよね？

> 次に出題者が回答者に対し、残り2つのうちはずれの方を開示。

予め、３枚のうちからはずれを１枚抜いてくれるのと同義ですから、変化すると思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。例えば、ABCの3択で最初にAを選んだ場合は、A1/3、B1/3、C1/3となり、BC合わせて2/3ですが、途中でBを開示しても、A1/3、B0、C2/3となるだけで、BCを合わせた2/3は動かないようです。いずれにせよAの1/3は動きません。ですので、上記「補足」のうち、
>はずれを開示した段階で、当選確率が最初の1/3から1/2へアップしているのは分かります。
・この部分は取り消します。最初に選んだ選択肢の当選確率は、1/3のまま変化しないのが正しいようです。

補足

早速のご回答ありがとうございました。
>この際に、中身は見ないんですよね？
・もちろん、この時点では当たりかはずれかは回答者には分かりません。
>予め、３枚のうちからはずれを１枚抜いてくれるのと同義ですから、変化すると思います。
・ええ、はずれを開示した段階で、当選確率が最初の1/3から1/2へアップしているのは分かります。質問の趣旨は、この場合、回答者は選択肢を変更した方が合理的なのか、ということです。