選んでから１つが外れだと明かされた場合の確率の変化

質問

３つの箱があって１つに当たりが入っています。１つを選んだあとに残りの２つのうち１つが外れだと明かされます。そして選び直しの機会が与えられ、残った２つの箱のうち初めに選んだ箱を続けて選ぶよりも、違うほうの箱に変えたほうが当たりを引く確率が２倍高いという理屈がよくわかりません。
ちなみに１００個でやって９８個の外れが明かされた場合は自分が初めに選んだものを含め残り２個のうち、初め選んだものから違う方の箱に変えたほうが当たる確率が９８倍(？だったと思う…)高いというらしいです。

この話をディスカバリーチャンネルの「数字のいたずら」で見て理屈が理解できなかったのですが、わかりやすい説明があれば教えていただきたいです。

回答No.9

a-saitoh · ベストアンサー

箱が3つくらいなら全部列挙して数えるのが一番納得しやすいと思いますよ。
最初に選んだ箱をが左端とします。当たりを○、はずれを×とすると、
以下の可能性がそれぞれお1/3ずつです。
○××
×○×
××○

ここで、残りの２つのうち１つが外れと明かされたわけですから、それを[×]と書いてみましょう。確率は以下のとおりです。

最初に選んだ箱をそのまま維持すれば、当たる確率は1/6+1/6=1/3です。
A ○[×]×・・・1/6で当たり
B ○×[×]・・・1/6で当たり
C ×○[×]・・・1/3ではずれ
D ×[×]○・・・1/3ではずれ

違う箱に変えたら、C,Dどちらでも当たりですから2/3になります。
A ○[×]×・・・1/6ではずれ
B ○×[×]・・・1/6ではずれ
C ×○[×]・・・1/3で当たり
D ×[×]○・・・1/3で当たり

別にの考え方で言うと
最初に選んだ箱が当たる確率は1/3です。選ばなかった箱が開けられたからといって確率は変わりません。もし当たりが二つにはずれが一つなら、選ばなかった箱のひとつを開けてそれがはずれだとわかった時点で100%当たりとわかってしまいますが。

残った二つの未開の箱のどちらかはあたりです。自分が最初の選んだ箱が1/3当たりだから、残りの箱は1-1/3=2/3当たりに決まっています。

第3の考え方
選ばなかった二つの箱のどちらかに当たりがある確率は2/3です。
選ばなかった箱のうちははずれの箱を取り除いた残り、ということは「選ばなかった2個のなかにもし当たりがあれば、必ずこの残された箱に入っている」ということです。つまり、これがあたりである確率は2/3です。

お礼

３パターンの考え方の丁寧な説明ありがとうございます。
わかりやすい説明で理解できました。特に２番目の説明がわかりやすかったです。
なるほど変えた方が確率高くなりますね。

回答No.8

mijinco

２つの箱から始めます。
１つの箱がカラと明かされたら、自分が選んでいる箱があたりということですよね。
他の当たりやすい箱は見あたりません(^_^;)。

お礼

回答ありがとうございます。
でも２つの箱から始めるのはまた話が違ってきちゃう気がするのですが。。。

回答No.7

maxmixmax

判りやすい説明のページがありましたので
参考までに。

参考URL：

http://ishi.blog2.fc2.com/blog-entry-182.html

お礼

サイトの紹介ありがとうございます。わかりやすいアニメのサイトでこのことが実感できました！

回答No.6

age_momo

もう一度、選ぶと考えるから理解できないのではないでしょうか？
最初に選んだものを持っておいて、残った一つと交換しますか？と聞かれたとしたら
どうでしょうか。最初に選んだ時点で当たる確率は1/3です。外れる確率は2/3ですね
外れた時には残ったものは確実に当たりです。つまり、持ったままだと当たる確率は1/3
交換すると2/3で当たりになります。だから2倍ということです。
後、おそらく

>当たる確率が９８倍

99倍だと思います。これも1/100と99/100で残ったものが最初に選んだものの99倍に
なります。もっと極端に考えたほうが理解できるのではないでしょうか。
1億個で1個だけ当たりがあって最初に選んだものが当たる確率は1/100000000です。
当たる気がしませんね。で、選んだ後に99999998個は当たりではないと知らされた。
残った一つと自分が最初に選んだものとどちらが当たりだと思いますか？
断然、残ったものが当たる気がしませんか？そういうことです。

お礼

ありがとうございます。最初に選んだ時点での当たる確率は１／３なのだから残りの１つ箱が外れだとわかっても最初に選んだやつの確率はそのままでアップしないのですね。
９９倍ですね。曖昧な記憶でしたので。。。すいません。

回答No.5

maxmixmax

No.4の人へ
確率は同一ではないですよ＾＾；

選んでない箱の中でひとつだけ残し、
その他の箱の中身を明らかにしてから、
もう一度選ばせる。

それは例えば箱が10個あった場合、
最初に選んだ１個に入っているか、
残りの9個に入っているかと同じ意味ですよ。

お礼

ありがとうございます、
「例えば箱が10個あった場合、最初に選んだ１個に入っているか、残りの9個に入っているかと同じ意味ですよ。」
この説明がわかりやすかったです。なるほど勉強になります。

回答No.4

keer

数学のいたずらじゃなくて言葉のマジックですね。

確率は同一です。

ＡＢＣの箱の中に当たりが一つだけあるとします。
事前情報無しに3つの箱から無作為に選んで当たりを引く確率は１／３です。

最初に箱Ａを選択したとしましょう、そして残った箱ＢＣのどちらかが外れであると云われ外れの箱が選択肢から除外します（仮にＢを除外します）。
残った箱ＡＣのどちらかが当たりになります、このときどちらを選んでも当たりを引く確率は１／２です。

条件が変われば確率も変わるのが当然なのですが、片方だけ条件の変更による確率の変動を適用させ、もう片方には適用させないでさも確率が違うように思わせる幼稚な手口です。

お礼

回答ありがとうございます。
でも質問に書き忘れましたが、この番組での実験だとどうやら確率は同率ではないようです。。。

回答No.3

HotaruT

箱がn個だとします。

●始めに選んだ箱が当たり（これは確率1/nです）のとき
2回目に同じ箱を選べば当たり、違う箱を選べばはずれです。

●始めに選んだ箱がはずれ（これは確率(n－1)/nです）のとき
2回目に同じ箱を選べばはずれ、違う箱を選べば当たりです。

以上より、2回目に違う箱を選ぶと、当たる確率は(n－1)/nとなり、
2回目に同じ箱を選んで当たる確率1/nと比べると(n－1)倍になります。

お礼

なるほど。たしかにそうですね。この場合だとはじめに選んだ箱の当たる確率というのは結局最初から変わらないんですね。
数学の証明ありがとうございます。

回答No.2

maxmixmax

100個の場合

［1/100］［1/100］［1/100］.......

ひとつを選び
　　↓
［1/100］［1/100］［1/100］.......

残った99個のうち、はずれの98個を開ける。
　↓
［1/100］［1/2］［空］［空］.......

選びなおした方が当たる可能性が高いのは一目瞭然ですね。

お礼

最初に選んだやるの当たる確率というのは最初に選んだ時点での確率のままなのですね。ありがとうございます。
でもそれなら初め選んだほうじゃないほうの確率は１００－１／１００で９９／１００になる気がします。。

回答No.1

maxmixmax

正確には2倍じゃないですね。
1/3が1/2になるわけですから。

［1/3］［1/3］［1/3］
この中から一個選ぶ。

　↓
［1/3］［1/3］［1/3］

残りふたつの一つが開けられる
　↓
［1/3］［空］［1/2］

［1/3］［空］［1/2］
選びなおした方が当たる確率は高いでしょう？

お礼

最初の選んだ時点での確率は１／３なのだから、それは他のが明かされてもそのままそれを選択したままだと変わるわけではないのですね。なるほど。。。