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微分・積分について
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- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
こんばんは。 色々例を書いてみますので、ご参考に。 何度かながめていれば、何となく意味がわかってくると思いますよ。 1.距離、速度、加速度 高さhのところから、物体を下向きにv0の速さで投げる。 重力加速度をgと置く。 時刻をt、物体の位置をx、物体の速度をvと置く。 空気抵抗は無視する。 速度vは、加速度を時刻tで積分したものであるから、 v = ∫gdt = gt+積分定数 t=0 のとき v=v0 なので、 v = gt + v0 位置(距離)xは、速度を時刻tで積分したものであるから、 x = ∫vdt = ∫gtdt + ∫v0dt = gt^2/2 + v0t + 積分定数 t=0 のとき、x=h なので、 x = gt^2/2 + v0t + h (たぶん、物理の教科書に、距離はグラフの台形の面積と同じだから 1/2・at^2 + 初速度・t という式が載っていると思います。 それと同じ式です。スタート地点が0でなくhになっているだけ。) さて、 ここで、上記を全部忘れて、 物体の位置が x = gt^2/2 + v0t + h と表される運動の速度と加速度を求めてみる。 速度vは、位置xを時刻tで微分したものであるから、 v = dx/dt = gt + v0 加速度は、速度vを時刻tで微分したものであるから、 dv/dt = g つまり、物体の運動は、加速度がgの等加速度運動(=自由落下)であることがわかった。 2.三角形の面積 三角形の面積を、わざわざ積分で求めてみます。 (これには意味があります。後述でわかります。) 底辺がa、高さがbの三角形がある。 この三角形を、横長の細い短冊の集合体と考える。 短冊の長さをL、太さをDと置く。 頂点から底辺に、垂直に向かう道のりをxと置く。 短冊の長さLは、頂点から底辺に向かうにしたがって、長くなる。 すなわち、Lは、xに比例し、頂点(x=0)ではL=0、底辺部(x=b)ではL=aとなる。 つまり、L=ax/b 繰り返しになるが、三角形は、横長の細い短冊の集合体。 1本の短冊は、太さD、長さax/b 太さDを無限に小さくしてdxとすることにより、短冊の数を無限に多くすれば、三角形の正確な面積になる。 1つの短冊の面積は、 長さ×太さ = ax/b × dx これを全部足せば(積分すれば)三角形の面積。 三角形の面積 = ∫L・dx = ∫ax/b・dx = a/b・∫xdx = a/b・x^2/2 + 積分定数 積分の区間は、x=0→b なので、 三角形の面積 = a/b・b^2/2 - 0 = ab/2 = 底辺×高さ÷2 3.円の面積 半径rの円がある。 これを、円形の針金の集合体と考える。 (中心近くでは小さな円の針金、円周近くでは大きな円の針金) 中心からの距離をxと置く。 1つの円の針金の長さは 2πx である。 針金の太さをdx と置くと、針金の面積(上から見た面積)は、2πx・dx よって、 円の面積 = 全ての針金の面積の合計 = ∫2πx・dx = 2π∫x・dx = 2π・x^2/2 + 積分定数 = π・x^2 + 積分定数 区間は、x=0→r なので、 円の面積 = π・r^2 - 0 = πr^2 4.球の体積 球の表面積は、4π×半径^2 である。 よって、球は、厚さdx、表面積4πx^2 の薄皮の球(中が空っぽのボール)の集合体。 (xが0からrに向かうにしたがって、大きなボールとなる。それらを全部足す。) 球の体積 = ∫4πx^2・dx = 4π∫x^2・dx = 4π・x^3/3 + 積分定数 区間はx=0→r なので、 球の体積 = 4π・r^3/3 - 0 = 4/3・πr^3 この公式、見たことありますよね。 5.製品の寿命、放射能 1個1個の物体の故障や崩壊が、ある確率をもって偶然によって起こる場合、 物体の個数をN、1年当たりに壊れる確率をλと置けば、 -dN/dt = λN と表せる。 -dN/dt は、1年当たりに壊れる数を表す。 λN は、左辺(壊れる数)が、Nにもλにも比例することを表す。 -dN/dt = λN を変形すると、 1/N・dN = -λdt ∫1/N・dN = -λ∫1・dt 積分を実行すれば、 logN = -λt + 積分定数 N = 定数・e^(-λt) 初期のNの個数をN0 と置けば、 N = N0・e^(-λt) この解の一例として、たとえば、y=e^(-t) をグラフに描いてみると、 ものが壊れて、個数がだんだん減っていく様子がわかります。 上記を読んでいるうち、なんとなくわかってくると思いますが、 ・dx というのは、微小な(無限近くに小さくした)xのこと。 ・dy/dx というのは、xの変化量に対するyの変化量の比が一定でないとき、ある瞬間の変化量の比を表している。 ・∫なんちゃらdx は、微小なもの(なんちゃらdx)を全部足し算したもの。 それから、 ・Δy/Δx = lim[ {f(x+Δx) - f(x)} / Δx ]、 あるいは、dy/dx というのは、 瞬間の変化量の比を求めるのに際し、 瞬間だからといってΔy、Δx、dy、dx をゼロにしてしまっては、 変化量の比は 0÷0 になってしまい、その先に進めなくなるので、 それを解決する方法の概念に使われているものです。 長々と書いてしまいましたが、以上、ご参考に。 ちなみに、 微分積分というのは、数学の中では、四則演算の次に役立つものだと思いますので、頑張って習得してくださいね。
- HANANOKEIJ
- ベストアンサー率32% (578/1805)
積分の源は、ギリシャ時代のアルキメデスの求積法です。 http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwaN/taiwaNch01/node54.html 微分とは、変化の割合の分母にくる時間を小さくしていって、ある時刻の瞬間の変化の割合を求めること。変化の割合:一次関数の傾き、距離、速さ(速度)、時間でいうと、速さ。 この歴史的に別々に研究されてきた、図形の面積、体積を求める求積法と瞬間の変化の割合を求める微分法が、関数とX軸で囲まれた面積を求める積分法と、その関数の接線を求める微分法という、お互いに逆演算になっているという、微分積分の基本定理という大発見で結び付けられたこと。 http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwaN/taiwaNch01/node55.html ベレ出版「微分・積分の意味がわかる」 http://www.beret.co.jp/books/detail/?book_id=124 岩波書店「解析概論」p.86~p.101
お礼
これらの本を 参考にさせて頂きます。
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お礼
有難うございました。 参考にさせて頂きます。