確率？の問題

質問

どうもこんにちは。

最近知り合いに聞かれてうまく答えられなかった、
確率？の問題がありました。
web で検索してますが、解釈が何通りもあるようで、
なかなか答えにたどりつきません。
どなたか解法を教えていただけませんか？

[1]
コインを投げ、その裏表を当てるギャンブルを行う。
コインの表が出る確率、裏が出る確率はそれぞれ50%である。
コインの裏表を当てた場合、所持金が1割増える。
外した場合、所持金が1割減る。
このギャンブルを続けた場合、破産することを説明せよ。

自分の回答：
1回勝った後、負けた場合、
勝負しなかったときより所持金が減っている。
直感では必ず負けそうだが、数式にうまく表現できない。
web では破産しない、トントンになる。という説明もあり、
どっちかわからない。。。

[2]
以下は友人ＡとＢの会話である。
Ａ「お子さんは何人いらっしゃいますか？」
Ｂ「二人いますよ。」
Ａ「女の子はいますか？」
Ｂ「はい、いますよ。」
このとき、Ｂの子供が二人とも女の子である確率はいくつか？

自分の答え：
両方とも女の子である確率は1/3 だと思ったのですが、
友人の中で 1/2 と 1/3 に分かれてしまいました。
まさか、
「片方はもう成人していて、女の子という年齢ではない。」
なんていう解答じゃないとは思うのですが。。。

[3]
私とあなたで、
当たりのカード1枚と外れのカード2枚をつかった、
ギャンブルを行う。
3枚を私がよく切り、あなたが1枚を選択する。
私にはどのカードが当たりで、
どのカードが外れかはわかっている。
あなたが当たりのカードを選択すれば、あなたの勝ちになる。

以下、追加のルール：
あなたがカードを選択した後、
そのカードを確認する前に、
私は残った2枚から、外れのカードを1枚公開する。
その後、あなたは最初に選択したカードをやめて、
残ったカードのうち、公開されなかったほうのカードを
選択しなおすことができる。

外れのカードが公開された後、
最初に選択したカードのままにするか、
残ったカードに交換するか、
どちらのほうが当たりやすいか。
当たりやすいなら、もう片方と比べて、
どの程度当たりやすいのか。

自分の答え：
モンティホール問題？というのがあるらしく、
それで現在調べています。

こんな感じの問題だったと思います。

回答No.2

Quattro99

［1］
数学的にどう説明すればよいのかよくわかりませんが、その考え方でよいと思います。
何回か行ったとき、勝ちの回数をn回、負けの回数をm回とします。
すると所持金は元の(1.1^n)*(0.9^ｍ)倍となりますが、
(1.1^n)*(0.9^m)
=(1.1^n)*(0.9^(n+m-n))
=(1.1^n)*(0.9^n)*(0.9^(m-n))
=(0.99^n)*0.9^(m-n)
となり、ずっと続けるとnは無限大になるけど、m-nは-無限大にならないので0*有限となって0に収束することになるのではないかと思います。

トントンと言っているのは、所持金全額ではなく、毎回一定の金額を掛金として出す場合と混同しているのではないかと思います。

［2］
このサイトでもさんざん出てきた問題です。結局、「一人は女の子がいる」ということがどうやって判明したのかという条件によることになるようです。
その問題では、1/3が正解だと思います。兄妹、姉弟、姉妹のどれかということになり、それぞれ同じ確率で存在しますから（男の子と女の子が生まれる確率が同じだとすれば）、1/3となります。
判明の仕方が「二人のうち一人を見たら女の子だった」という場合は1/2になります。「兄妹の妹を見た」「姉弟の姉を見た」「姉妹の姉を見た」「姉妹の妹も見た」のうちの姉妹である確率なので2/4=1/2です。

［3］
選択し直した方があたりやすい。
結局、最初に選んだカードが当たりか、選ばなかった残りに当たりがあるのかという問題と同じだから。当然、1/3と2/3で選び直した方が2倍あたりやすい。
この問題も、このサイトで頻繁に質問されているので検索するといっぱい出てくると思います。

お礼

回答ありがとうございます。

[1] については、「破産する」という表現の解釈が色々あるようで、
明確にしなければならないと思いました。
他の方の回答にあるように、所持金に小数以下を認めるなら、
「0には決してならないので破産してない」、
ともいえてしまうと思いました。
出題者の意図はわかりませんが、
私は期待値（平均値？）が減っていくと解釈していました。
期待値であれば、何回繰り返しても変化しないですね。。。

[2] についてはまだ友人の中で 1/2 と 1/3 で分かれています。
もう少し、整理して考えて見ます。

[3] はモンティホール問題を調べて理解できました。
が、これは他の人に説明するのは難しそうですね。。。

ありがとうございました。