教科書レベルですが

質問

Ｓｎ＝1^2+2^2+3^2+・・・+n^2

平方の和の公式
1/6n(n+1)(2n+1)

はご存じかと思います。

これを教科書で導きだすとき、こんな式が出てきます。
ｎ^3-(ｎ-1)^3=3ｎ^2-3ｎ+1
：
＝１／２ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）
よって
1/6n(n+1)(2n+1)
の公式が成り立つ。

となっているのですが、なんで
３乗されているもの（ｎ^3-(ｎ-1)^3=3ｎ^2-3ｎ+1）がでてくるのか？
Ｓｎ＝1^2+2^2+3^2+・・・+n^2
で２乗されているのに。

＝１／２ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）
よって1/6n(n+1)(2n+1)
と言えるのかがわかりません。

アドバイス頂けると助かります。

回答No.4

fushigichan · ベストアンサー

おはようございます。
うまく説明できるといいんですけど・・

まず、ひとつ次元の下の話をしますね。
Sn=1+2+3+4+・・・+n
を求めるときに、
k^2-(k-1)^2=2k-1　・・・・・・（１）
を使って、
（１）の式に、ｋ＝１からｎまで順番に代入していくと
k=1 1^2-0^2=2*1-1
K-2 2^2-1^2=2*2-1
k=3 3^2-2^2=2*3-1

・・・・・・・

k=n n^2-(n-1)^2=2*n-1
--------------------------これを上から順次足していくと
　　　n^2=2*(1+2+3+4+・・・+n)-(1+1+1+・・・+1)
↑
　　　　　　　　　　　　　　　１がｎ個
よってSn=(n^2+n)/2=n(n+1)/2
という公式が導かれるんですよね。

これと同じ理屈で、
Sn=1^2+2^2+3^2+・・・・・+n^2
を導きたいときには、３乗の差の式を利用するのです。
k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1　　　・・・・・・（２）
これは、左辺を展開すればわかります。
この等式を利用するんです。
（２）に、ｋに１からｎまでの数字を順番に代入しましょう。

k=1 1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
K-2 2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
k=3 3^3-2^3=3*3^2-3*3+1

・・・・・・・・・

k=n n^3-(n-1)^3=3*n^2-3*n+1
-------------------------------これも両辺を上から順番に足してみましょう。

　　　n^3=3*(1^2+2^2+・・・+n^2)-3*(1+2+3+・・・+n)+(1+1+・・・+1)
↑
　　　　 二乗の和の公式からn(n+1)/2

このことより、3Sn=n^3+3n(n+1)/2-n
　　　　　　 Sn=n(n+1)(2n+1)/6
となって公式が導かれます。

回答No.3

oshiete_goo

＞あと、もうちょっと１番目を考えたいところです。
一般的には
N+1(≧1)次の整式F(x)を微分するとN次式になり,
N+1(≧1)次の整式F(n)の差分（"階差"と同様）F(n+1)－F(n)を求めるとN次式になることより,

与えられたN次式 f(k)に対し,
(N+1)次式 F(k) の"差分"(ただし1つずらした) F(k)－F(k-1)
を考えると, N次式になりますから,
＞恒等式 　k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1
が利用できるという話になります.

（左辺の和は容易で,右辺の残りの項(1次と定数の項)の和は既知であればk^2の和が求まる.）

逆にN次式の積分は(N+1)次式であり,
N次式の和分（要するに"和"）は(N+1)次式になるというのが後半のお話でした.

回答No.2

Mell-Lily

恒等式
　k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1
から、
　1^3-0^3=3*1^2-3*1+1　（k=1のとき）
　2^3-1^3=3*2^2-3*2+1　（k=2のとき）
　3^3-2^3=3*3^2-3*3+1　（k=3のとき）
　…
　(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2-3(n-1)+1　（k=(n-1)のとき）
　n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1　（k=nのとき）
ですが、辺々加えれば、
　0^3+n^3=3{1^2+2^+3^2+…+(n-1)^2+n^2}-3{1+2+3+…+(n-1)+n}+(1+1+1+…+1+1)
　∴ n^3=3Σk^2-3Σk+n
　∴ Σk^2=(n^3+3Σk-n)/3
これに、
　Σk=n(n+1)/2
を代入すれば、
　Σk^2={n^3+3n(n+1)/2-n}/3
　=n{2n^2+3(n+1)-2}/6
　=n(2n^2+3n+1)/6
　=n(n+1)(2n+1)/6

お礼

回答ありがとうございました。
２番目の質問、解明しました。
なんかわかってきているのですがもうちょっと考えてみます。

回答No.1

eatern27

＞なんで３乗されているものがでてくるのか？
最初に誰かがこの導き方を発見し、その導き方が便利だから、としか言えません。
このやり方は妥当な手段です。
m乗の和を求めるときにもm+1乗すれば求められる。(m-1乗以下の和が分かっていれば)

ｎ^3-(ｎ-1)^3=3ｎ^2-3ｎ+1 での証明は教科書に載っているのですよね？両辺に和をとって変形するだけです。
＝１／２ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） とありますが、これは
３Ｓｎ＝１／２ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）
ですよね？
よって、Ｓｎ＝１／６ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）
となります。

お礼

回答ありがとうございました。
２番目の質問、解明しました。不十分なところご指摘失礼しました。
あと、もうちょっと１番目を考えたいところです。