積分の問題お願いします

質問

∫（√ｘ＾２＋１）ｄｘ

簡単だと思って上の課題に取り組んでみたら
私には簡単ではありませんでした。
途中式も含めて
上の問題を誰かお願いします。

（＊）√の中身はｘ＾２＋１までです。

また、積分の質問はたくさんあり、全部見てる時間がないので、もし過去に同じのがあるなら
すみませんが、そこを教えてください。
よろしくお願いしますｍ(＿　＿)ｍ

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

#1ですが，訂正です．
大変すみません．置換の際に係数1/2が抜けていて，出なかったと思います．
お詫びに解答例を書きますので，問題点があれば補足ください．
[訂正解]
与式を　I＝∫√(x^2＋１)dx　とする．

x=(t－1/t)／2 ・・・(1)　(t＞０)
と置くと, ０＜t＜+∞ の時全ての実数ｘが表せる．

(1)をtについて解く(分母を払って２次方程式)と，t＞0より全ての実数ｘについて
t＝x＋√(x^2＋1)　(＞0) ・・・(2)
となる．

dx/dt=(1＋1/t^2)／2・・・(3)
√(x^2＋1)＝(t＋1/t)／2・・・(4)

(3)，(4)より
Ｉ＝∫(1/2)(t＋1/t)(1/2)(1＋1/t^2)dt
　＝(1/4)∫(t＋1/t)(1＋1/t^2)dt
　＝(1/4)∫(t＋2/t＋1/t^3)dt
　＝(1/4){t^2/2＋2log|t|-1/(2t^2)}+Ｃ　　[Ｃは積分定数]
　＝(1/8)(t^2－1/t^2)＋(1/2)log|t|+Ｃ　　
　＝(1/8)(t－1/t)(t＋1/t)＋(1/2)log(t)+Ｃ　　[t＞０より]
　＝(1/2)x√(x^2＋1)＋(1/2)log{x＋√(x^2＋1)}+Ｃ　[(1),(2),(4)より]
　＝(1/2)[x√(x^2＋1)＋log{x＋√(x^2＋1)}]+Ｃ・・・(答)

お礼

パソコンが壊れてて今までつなげれませんでした。
詳しい解答ありがとうございました。

回答No.2

ririnnnohitori

高専ではこの問題は公式一発なので詳しい説き方は分かりませんが、
∫√（ｘ＾２+A)ｄｘ＝１/2（ｘ√（ｘ＾２＋A）＋Alog｜ｘ＋√（ｘ＾２＋A）｜
などという公式が登場しました
証明は右辺を微分してください。

お礼

その公式は知ってたのですが、自力で求めておいたほうが
忘れたときにすぐだせるかなのと思ったのですが
そうでもないようですね。。。。
ありがとうございました。

回答No.1

oshiete_goo

双曲線関数の話なので,背景を知らないと,誘導つきでないと厳しいかも知れません.
置換もいろいろありますが,　一例を挙げると
x=t－1/t (t＞０)
と置くと, ０＜t＜+∞ の時全ての実数ｘが表せることに注意すると（しなくても形式的計算は出来ますが），
dx/dt=1＋1/t^2
とより置換積分できますね．

他にも方法はありますが，できるところまでやって補足されることをお薦めします．