畳み込み積分と線形性、時不変性、因果性について

質問

こんにちは。見ていただいてありがとうございます。
今専門の勉強をしていて、たたみ込み積分がでてきたのですが、
良く分らなくてつまずいています。
よろしければご指導お願いします。

問題は、y(t)=∫[-∞→∞]x(τ)h(t-τ)dτなるインパルス応答h(t)が存在するとき、
この関係を畳み込み積分というが、この場合、システムの線形性、時不変性、因果性について判定せよ。

というものです。
線形性も時不変性も分るのですが、畳み込み積分のこの式からどう判定していいのか分りません。
考え方から分らないので、解説していただけると助かります。

よろしくお願いします(> <)

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

こりゃ丸投げ質問ですんで「自分でどこまで考えたのか補足に書け」と怒られるのが通例。さもないとそのうち削除されると思います。

　畳み込み積分(convolution)
　y(t)=∫x(τ)h(t-τ)dτ　(積分はτ=-∞～∞)　　…(1)
を「時系列信号xを時系列信号yに変換する変換装置（システム）」と考えて、しばしば
　y = h*x　　…(2)
と書かれます。「*」は掛け算ではなく畳み込み積分を表している。「xにhを*で作用させてyを得る」というコロロです。

　ところで、式(1)の等号( = )は「両辺の数値が同じである」ということを表している。ただしこの式は特定のtについてだけ言っているのではなくて、「任意のtについて両辺の数値が同じである」と言っている。つまり恒等式です。なので、本来は
　任意のtについて　y(t)=∫x(τ)h(t-τ)dτ　(積分はτ=-∞～∞)
と書くべきである。「任意のtについて」が省略して書いてある訳です。
　これに対して、式(2)の等号は「両辺の時系列信号全体が同じである」ということを表している。（だから「任意のtについて」なんて必要ありません。）
　また、h*x は「時系列信号xがhによって変換されてできた時系列信号」ですから、
　任意のtについて　(h*x)(t)=∫x(τ)h(t-τ)dτ　(τ=-∞～∞)　　…(3)
と書く事ができます。

> 線形性も時不変性も分るのですが

　いやいや、分かってたらこの質問が出る筈がない。

●線形性とは、ある時系列信号x1とx2があって、
　y1 = h*x1
　y2 = h*x2
であるときに、任意の定数a, bについて、x1とx2の線形和の信号z、すなわち、任意のtについて
　z(t) = a x1(t) + b x2(t)
であるようなzを考える。そして、
　w = h*z
とすると、任意のtについて
　w(t) = a y1(t) + b y2(t)
が成り立つ、ということです。z, y1,y2,wを使わずに書くと、実にすっきり
　h*(a x1 + b x2) = a (h*x1) + b (h*x2)
ということになる。つまり、*は（掛け算と同じように）括弧を付けたりはずしたりする操作ができる（分配則が成り立つ）。そういう性質のことを線形性という。
　これが常に（つまり任意のx, hについて）成り立つということを確かめるには、「*」で書かれたところを全部、式(3)を使って積分に戻してみれば良い。
　なぜ、畳み込み積分で線形性が成り立つかというと、積分そのものが線形性を持っているからです。

●時不変性とは、ある時系列信号x,zとある定数Tがあって、任意のtについて
　z(t) = x(t+T)
　y = h*x
　w = h*z
であるときに、任意のtについて
　w(t) = y(t+T)
が成り立つということ。これが常に（任意のx, Tについて）成り立つということを、「*」を積分に戻して確認すれば良い。

●因果性とは、ある時刻Tにおいて、ある時系列信号xとzが任意のtについて
　t<Tのとき z(t) = x(t)
　t>Tのとき z(t) ≠ x(t)
を満たしているときに、任意のtについて
　t<Tのとき (h*z)(t) = (h*x)(t)
が成り立つということ。
　「因果性が成り立つためには、hがある簡単な条件を満たす必要がある」ということが、積分の形に戻してみれば容易に分かるでしょう。

お礼

ありがとうございます。
時間がなくてあせってしまい、丸投げの質問になってしまったこと、
お詫びいたします。
自分で考えて、分らない問題を質問したのですが、
考える時間が甘かったと反省しています。

丁寧にお答えいただいて、本当にありがとうございます。