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AB=E ならば BA=E の証明
Nandayerの回答
- Nandayer
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問題の前提についてですが、 ・ E は n 次単位行列である。 ・ A, B は n 次正方行列である。 ・ A, B の可逆性は仮定しない。 ですか? とすると、これは見かけより難しい(手間がかかる)問題です。 私の手持ちの本では、 齋藤正彦著「線型代数入門」東京大学出版会 ISBN4-13-062001-0 の P48 に、次のような定理が載っていますので、この系になるでしょう。 「 n 次正方行列 A に対し、XA = E となる n 次行列 X が存在すれば A は正則である。AX = E となる X の存在を仮定しても同様である。」 証明は行列の基本変形を利用しています。 #4 さんの証明は間違いだと思いますので、指摘させていただきます。 AX = A より X が単位元だといっておられますが、ある1つの A だけで AX = A が成り立っていても X が単位元とは言えないのではないでしょうか?例えば、A と X を (1,1) 成分だけが 1 で他は 0 の正方行列とすると、 AX = A ですから。 単位元 E の定義は、<全ての> A にたいして AE = EA = A が成り立つことだったと思います。
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