rankに関する証明問題です。

質問

Ａ、Ｂは同じ大きさの正方行列とする。
rankAB ≠rankBA をみたすＡとＢの例を１つ示した後、
一般に　

（ＡＢ）^2 = ＡＢ　かつ　(ＢＡ)^２=ＢＡ　
ならば、
rankＡＢ= rankＢＡ　

が成り立つことを証明せよ、という問題です。

＾２　は２乗の意味です。
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

rank AB ≠ rank BA となる例：

A =
　　1　　-1
　　1　　-1

B =
　　1　　1
　　1　　1

のとき、

AB =
　　0　　0
　　0　　0

BA =
　　2　　-2
　　2　　-2

だから、

rank AB = 0 ≠ 1 = rank BA。

後半の証明：

一般に rank XY ≦ rank X, rank XY ≦ rank Y であることから、

rank AB = rank(AB)^2 = rank (ABA)B ≦ rank A(BA) ≦ rank BA,
rank BA = rank(BA)^2 = rank (BAB)A ≦ rank B(AB) ≦ rank AB.

すなわち rank AB = rank BA。

お礼

ありがとうございます!
簡潔でわかりやすかったです。
ありがとうございました。