飛行機の時間遅れ（相対論）

質問

以前、相対論関連の本で、東回りの飛行機内の時計と西回りの飛行機内の時計を地上から観測した場合に遅れ方が異なるというのがありました（どちらの遅れが多いのかは失念しました）

これについて
１．遅れの差は生じるというのは正しいのでしょうか？

２．正しい仮定して、どうして差が生じるのでしょう？
地上から観測した場合、向きが異なる以外に飛行機の運動は同じだと思うので差が生じる理由がわかりません。

回答No.7

gyrch · ベストアンサー

>何故、運動速度に差があるのかがわからないのです。

質問者のsiffon9さんのこの疑問が意味不明ですが、
「なぜ、相対的には運動速度に差が出ないにもかかわらず、
　時間のズレが生じるのかがわからない」
と言う事でしょうか？
それは、観測者が非慣性系（回転座標系）にいるからです。
大雑把に二次元空間で説明します。
ミンコフスキー時空における回転座標系（角速度ω）の計量は、
(ds)^2={1-(ωr/c)^2}(cdt)^2-2ωr^2(dφ)(dt)-(dr)^2-r^2(dφ)^2
です。
よって、回転軸を中心に半径Rの位置で速さVの等速円運動を
している物体の固有時をτとすると、
(dτ/dt)^2=1-(ωR/c)^2-2(ωR/c)(V/c)-(V/c)^2
=1-(ωR+V)^2/c^2
となります。東回りをVとすれば、西回りは-Vとなり、
それら二つの場合で上式の右辺は当然一致しません。
観測者の位置が回転軸の中心ではなく、赤道半径の円周上
であることや、そもそも、地球の重力による時空の歪みを
無視していることから、厳密には誤差が大きいのですが。ｗ
ともあれ、時間のズレが生じることは間違いないと思います。

お礼

ありがとうございます。
しっかりと理解するには一般相対論の知識が必要だということがわかりました。

挙げていただいた式の内容ですが
tは回転軸中心にいる観測者の固有時
dφ/dtは観測者からみた接線速度Vで飛行する飛行機の角速度
という理解でよろしいでしょうか？

回答No.8

gyrch

>tは回転軸中心にいる観測者の固有時
>dφ/dtは観測者からみた接線速度Vで飛行する飛行機の角速度
>という理解でよろしいでしょうか？

その通りです。もっと正確に言えば、
「回転軸中心の位置で、軸と共に角速度ωで自転運動し続けている
　観測者からみた・・・」
ってことです。

お礼

補足までしていただき、ありがとうございました。
非常に参考になりました。

回答No.6

Willyt

>何故、運動速度に差があるのかがわからないのです。
時間のずれの件は運動速度に差があった場合のハナシなので、運動速度に差ができるケースはいろいろあるではありませんか。こちらが止まっていて相手が動く場合もその一つです。運動速度に差が生じる理由を問うのは全く無駄なことですよね。御質問の場合も東周りの飛行機は地球の自転に乗り、西周りの飛行機が自転に逆行しますから速度に差がでるのは当然で、太陽から見たときにはずれに差が出るのは当然です。しかし観測者が地球上に乗っている場合には自転速度が相殺されますから二つの飛行機に速度差がないので差が出ないということになります。

回答No.5

opechorse

地球は自転運動=回転運動であり等速直線運動ではないです
つまり常に加速(この場合中心方向)しています
加速運動をしているものを基準にすると矛盾が生じます

補足

確かに静止系からみて、観測者、飛行機ともに回転運動をしており向心力が働いていますね。
それを踏まえた上で、最初の質問を分りやすくご説明いただけると助かります。

よろしくお願いいたします。

回答No.4

Willyt

>地球が自転していると、何故、東回りの飛行機の方が速く運動することになるのかが理解できません。

これは光速に対して殆ど無視できるほどのスピードの世界、つまりニュートン力学の法則が当てはまる世界の中での話で、御質問の世界とは全く次元が違います。動いている物体内と時計が遅れて見えるという事実の話とは関係ありません。

補足

いえ、運動速度に差があるのであれば、時計の遅れに差が生じるのは理解できるのです。
何故、運動速度に差があるのかがわからないのです。

回答No.3

opechorse

慣性の法則にしたがって
宇宙からの静止系から見ると
離陸前状態は、地球の自転速度で移動していますよね
そして離陸する場合、
東行きは飛行速度+地球の自転速度
西行きは-飛行速度+地球の自転速度になります
コリオリの力を除いて地上だと、自転速度に対抗する力が働かない
ので速度差が発生します

補足

確かに宇宙の静止系から見ると

東行きは飛行速度+地球の自転速度
西行きは-飛行速度+地球の自転速度

になって、速度差が生じるのは理解できます。
しかし質問の観測者は地上にいて、一緒に自転しています。

この場合、観測者から観た飛行機の速度は
東行きは飛行速度
西行きは飛行速度（向きは東行きと逆）
となるのではないでしょうか？

回答No.2

eatern27

>１．遅れの差は生じるというのは正しいのでしょうか？
確か、「東回りの方が遅れた」というのが実験事実だったかと。

>２．正しい仮定して、どうして差が生じるのでしょう？
>地上から観測した場合、向きが異なる以外に飛行機の運動は同じだと思うので差が生じる理由がわかりません。
東回りと西回りで「地面に対する速度」が同じなら、地球が自転している分だけ、東回りの飛行機の方が速く運動している事になりますよね。だから、東回りの方が遅れるんですね。

補足

お返事ありがとうございます。

> 東回りと西回りで「地面に対する速度」が同じなら、地球が自転している分だけ、東回りの飛行機の方が速く運動している事になりますよね。

地球が自転していると、何故、東回りの飛行機の方が速く運動することになるのかが理解できません。
もう少し、かみ砕いたご説明をいただけると助かります。

回答No.1

Willyt

１．『遅れの差』というのは遅れ方の程度の差ということですよね？　そうだとすれば光速に近づくほど遅れは大きくなります。

２．これはちょっと答えるのが難しいのですが、たとえば物は何故落ちるのかという質問の答えは万有引力があるからだということですが、それは何故という質問には答えていませんよね。万有引力という力が働いているとすれば、ニュートンの法則に従って物体が運動を表わす数式が成り立つからということに過ぎません。
　そのような答えにならない答えでよければ、それは光速がいかなるときにも一定という法則を満たすには、走っている物の中にある時計が遅くなるように見えないと矛盾が起きるからということになります。光速が一定ではなく、そのスピードが状況によって変る例を一例でもいいから見つければ時間が遅れるという命題は否定されたことになります。
　このように科学は人間のなぜという疑問には多くの場合答えてくれません。殆どの場合、そういうことにしておけば現在知られている現象の辻褄が合うということにすぎないのです。

補足

申し訳ありません。
質問の意図は、相対論における時間の遅れ全般についてではなくて、
例えば赤道上を東に向かって飛ぶ飛行機と西に向かう飛行機について、双方の飛行機のに搭載されている時計を地上から観測した場合に時間差が生じるかということです。

よろしくお願いします。