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群論 Z^*_pは原始元を含む
タイトルにも記しましたが、 「pが素数であるとき、Z^*_pは原始元を含む」 ということがよくわかりません。 例えばp=5やp=11などpを具体的に設定してやれば原始元の有無を判定できるのですが（具体的な原始元の値を求めることになる）、上の文に出会ったとき、言われてみればまぁ原始元の１つくらい持っている気がすると思いました。 そこで、どうしてそのようなことが言い切れるのか、いろいろと調べてみましたが、結局手がかりを得ることができませんでした。 そこで質問なのですが、どのような考え方をすれば、この問題を説明（証明）することができるのでしょうか。 よろしくお願いします。
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- yoikagari
- ベストアンサー率50% (87/171)
「原始元」ではなく、「原始根」ですね。 初等整数論の有名定理ですね。 証明は例えば、下記サイトにあります。
お礼
回答ありがとうございます。 原始根というのですか。 URL先は私にはちょっと完全に理解するのは難しかったですが非常に参考になりました。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>いろいろと調べてみましたが、結局手がかりを得ることができませんでした。 群論の教科書には必ず載っていると思います。 (Z_p)^* が巡回群であることを示すだけですが、完全に独力で証明するのはちょっと難しい。 そして具体的な原始元を求めるのは更に難しいです。
お礼
回答ありがとうございます。 調べがまだまだ足りなかったようですね。 今度図書館に足を運んでみようかと思います。
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